Решить 25x^2-10x-x^2-25=0

$$25 x ^ { 2 } - 10 x - x ^ { 2 } - 25 = 0$$

Найдите x

$$x=-\frac{5}{6}\approx -0,833333333$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Способ разложения на множители путем группировки

Объедините 25x^{2} и -x^{2}, чтобы получить 24x^{2}.

$$24x^{2}-10x-25=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 24x^{2}+ax+bx-25. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-10 ab=24\left(-25\right)=-600$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -600.

$$1,-600 2,-300 3,-200 4,-150 5,-120 6,-100 8,-75 10,-60 12,-50 15,-40 20,-30 24,-25$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-600=-599 2-300=-298 3-200=-197 4-150=-146 5-120=-115 6-100=-94 8-75=-67 10-60=-50 12-50=-38 15-40=-25 20-30=-10 24-25=-1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -10.

$$a=-30 b=20$$

Перепишите 24x^{2}-10x-25 как \left(24x^{2}-30x\right)+\left(20x-25\right).

$$\left(24x^{2}-30x\right)+\left(20x-25\right)$$

Разложите 6x в первом и 5 в второй группе.

$$6x\left(4x-5\right)+5\left(4x-5\right)$$

Вынесите за скобки общий член 4x-5, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(4x-5\right)\left(6x+5\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 4x-5=0 и 6x+5=0у.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Объедините 25x^{2} и -x^{2}, чтобы получить 24x^{2}.

$$24x^{2}-10x-25=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 24 вместо a, -10 вместо b и -25 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 24\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

Возведите -10 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 24\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

Умножьте -4 на 24.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-96\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

Умножьте -96 на -25.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+2400}}{2\times 24}$$

Прибавьте 100 к 2400.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{2500}}{2\times 24}$$

Извлеките квадратный корень из 2500.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±50}{2\times 24}$$

Число, противоположное -10, равно 10.

$$x=\frac{10±50}{2\times 24}$$

Умножьте 2 на 24.

$$x=\frac{10±50}{48}$$

Решите уравнение x=\frac{10±50}{48} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 10 к 50.

$$x=\frac{60}{48}$$

Привести дробь \frac{60}{48} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 12.

$$x=\frac{5}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{10±50}{48} при условии, что ± — минус. Вычтите 50 из 10.

$$x=-\frac{40}{48}$$

Привести дробь \frac{-40}{48} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 8.

$$x=-\frac{5}{6}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Объедините 25x^{2} и -x^{2}, чтобы получить 24x^{2}.

$$24x^{2}-10x-25=0$$

Прибавьте 25 к обеим частям. Если прибавить к любому числу ноль, то это число не изменится.

$$24x^{2}-10x=25$$

Разделите обе части на 24.

$$\frac{24x^{2}-10x}{24}=\frac{25}{24}$$

Деление на 24 аннулирует операцию умножения на 24.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{24}\right)x=\frac{25}{24}$$

Привести дробь \frac{-10}{24} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x=\frac{25}{24}$$

Деление -\frac{5}{12}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{5}{24}. Затем добавьте квадрат -\frac{5}{24} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{25}{24}+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{5}{24} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{25}{24}+\frac{25}{576}$$

Прибавьте \frac{25}{24} к \frac{25}{576}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{625}{576}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{625}{576}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{576}}$$

Упростите.

$$x-\frac{5}{24}=\frac{25}{24} x-\frac{5}{24}=-\frac{25}{24}$$

Прибавьте \frac{5}{24} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$