Решить 25x^2+30x+9=0

$$25 { x }^{ 2 } +30x+9=0$$

Найдите x

$$x=-\frac{3}{5}=-0,6$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 25x^{2}+ax+bx+9. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=30 ab=25\times 9=225$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 225.

$$1,225 3,75 5,45 9,25 15,15$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+225=226 3+75=78 5+45=50 9+25=34 15+15=30$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 30.

$$a=15 b=15$$

Перепишите 25x^{2}+30x+9 как \left(25x^{2}+15x\right)+\left(15x+9\right).

$$\left(25x^{2}+15x\right)+\left(15x+9\right)$$

Разложите 5x в первом и 3 в второй группе.

$$5x\left(5x+3\right)+3\left(5x+3\right)$$

Вынесите за скобки общий член 5x+3, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(5x+3\right)\left(5x+3\right)$$

Перепишите в виде квадрата двучлена.

$$\left(5x+3\right)^{2}$$

Чтобы найти решение уравнения, решите следующее: 5x+3=0.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$25x^{2}+30x+9=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 25 вместо a, 30 вместо b и 9 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 25\times 9}}{2\times 25}$$

Возведите 30 в квадрат.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 25\times 9}}{2\times 25}$$

Умножьте -4 на 25.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-100\times 9}}{2\times 25}$$

Умножьте -100 на 9.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-900}}{2\times 25}$$

Прибавьте 900 к -900.

$$x=\frac{-30±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Извлеките квадратный корень из 0.

$$x=-\frac{30}{2\times 25}$$

Умножьте 2 на 25.

$$x=-\frac{30}{50}$$

Привести дробь \frac{-30}{50} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 10.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}+30x+9=0$$

Вычтите 9 из обеих частей уравнения.

$$25x^{2}+30x+9-9=-9$$

Если из 9 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$25x^{2}+30x=-9$$

Разделите обе части на 25.

$$\frac{25x^{2}+30x}{25}=-\frac{9}{25}$$

Деление на 25 аннулирует операцию умножения на 25.

$$x^{2}+\frac{30}{25}x=-\frac{9}{25}$$

Привести дробь \frac{30}{25} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-\frac{9}{25}$$

Деление \frac{6}{5}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{3}{5}. Затем добавьте квадрат \frac{3}{5} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=-\frac{9}{25}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Возведите \frac{3}{5} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{-9+9}{25}$$

Прибавьте -\frac{9}{25} к \frac{9}{25}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=0$$

Коэффициент x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=0$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Упростите.

$$x+\frac{3}{5}=0 x+\frac{3}{5}=0$$

Вычтите \frac{3}{5} из обеих частей уравнения.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{3}{5}$$

Уравнение решено. Решения совпадают.

$$x=-\frac{3}{5}$$