Решить 24x^2-65x+21=0

$$24 x ^ { 2 } - 65 x + 21 = 0$$

Найдите x

$$x=\frac{3}{8}=0,375$$

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2,333333333$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 24x^{2}+ax+bx+21. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-65 ab=24\times 21=504$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 504.

$$-1,-504 -2,-252 -3,-168 -4,-126 -6,-84 -7,-72 -8,-63 -9,-56 -12,-42 -14,-36 -18,-28 -21,-24$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-504=-505 -2-252=-254 -3-168=-171 -4-126=-130 -6-84=-90 -7-72=-79 -8-63=-71 -9-56=-65 -12-42=-54 -14-36=-50 -18-28=-46 -21-24=-45$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -65.

$$a=-56 b=-9$$

Перепишите 24x^{2}-65x+21 как \left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right).

$$\left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right)$$

Разложите 8x в первом и -3 в второй группе.

$$8x\left(3x-7\right)-3\left(3x-7\right)$$

Вынесите за скобки общий член 3x-7, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(3x-7\right)\left(8x-3\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 3x-7=0 и 8x-3=0у.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 24 вместо a, -65 вместо b и 21 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{\left(-65\right)^{2}-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

Возведите -65 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

Умножьте -4 на 24.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-96\times 21}}{2\times 24}$$

Умножьте -96 на 21.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-2016}}{2\times 24}$$

Прибавьте 4225 к -2016.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{2209}}{2\times 24}$$

Извлеките квадратный корень из 2209.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±47}{2\times 24}$$

Число, противоположное -65, равно 65.

$$x=\frac{65±47}{2\times 24}$$

Умножьте 2 на 24.

$$x=\frac{65±47}{48}$$

Решите уравнение x=\frac{65±47}{48} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 65 к 47.

$$x=\frac{112}{48}$$

Привести дробь \frac{112}{48} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 16.

$$x=\frac{7}{3}$$

Решите уравнение x=\frac{65±47}{48} при условии, что ± — минус. Вычтите 47 из 65.

$$x=\frac{18}{48}$$

Привести дробь \frac{18}{48} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 6.

$$x=\frac{3}{8}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

Вычтите 21 из обеих частей уравнения.

$$24x^{2}-65x+21-21=-21$$

Если из 21 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$24x^{2}-65x=-21$$

Разделите обе части на 24.

$$\frac{24x^{2}-65x}{24}=-\frac{21}{24}$$

Деление на 24 аннулирует операцию умножения на 24.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{21}{24}$$

Привести дробь \frac{-21}{24} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 3.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{7}{8}$$

Деление -\frac{65}{24}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{65}{48}. Затем добавьте квадрат -\frac{65}{48} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}=-\frac{7}{8}+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{65}{48} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=-\frac{7}{8}+\frac{4225}{2304}$$

Прибавьте -\frac{7}{8} к \frac{4225}{2304}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=\frac{2209}{2304}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}=\frac{2209}{2304}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{2304}}$$

Упростите.

$$x-\frac{65}{48}=\frac{47}{48} x-\frac{65}{48}=-\frac{47}{48}$$

Прибавьте \frac{65}{48} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$