Решить 24w^2-23w-630

$$24 w ^ { 2 } - 23 w - 630$$

Разложить на множители

$$\left(8w-45\right)\left(3w+14\right)$$

Действия по решению

Разложите выражение на множители путем группировки. Сначала выражение необходимо переписать в следующем виде: 24w^{2}+aw+bw-630. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-23 ab=24\left(-630\right)=-15120$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -15120.

$$1,-15120 2,-7560 3,-5040 4,-3780 5,-3024 6,-2520 7,-2160 8,-1890 9,-1680 10,-1512 12,-1260 14,-1080 15,-1008 16,-945 18,-840 20,-756 21,-720 24,-630 27,-560 28,-540 30,-504 35,-432 36,-420 40,-378 42,-360 45,-336 48,-315 54,-280 56,-270 60,-252 63,-240 70,-216 72,-210 80,-189 84,-180 90,-168 105,-144 108,-140 112,-135 120,-126$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-15120=-15119 2-7560=-7558 3-5040=-5037 4-3780=-3776 5-3024=-3019 6-2520=-2514 7-2160=-2153 8-1890=-1882 9-1680=-1671 10-1512=-1502 12-1260=-1248 14-1080=-1066 15-1008=-993 16-945=-929 18-840=-822 20-756=-736 21-720=-699 24-630=-606 27-560=-533 28-540=-512 30-504=-474 35-432=-397 36-420=-384 40-378=-338 42-360=-318 45-336=-291 48-315=-267 54-280=-226 56-270=-214 60-252=-192 63-240=-177 70-216=-146 72-210=-138 80-189=-109 84-180=-96 90-168=-78 105-144=-39 108-140=-32 112-135=-23 120-126=-6$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -23.

$$a=-135 b=112$$

Перепишите 24w^{2}-23w-630 как \left(24w^{2}-135w\right)+\left(112w-630\right).

$$\left(24w^{2}-135w\right)+\left(112w-630\right)$$

Разложите 3w в первом и 14 в второй группе.

$$3w\left(8w-45\right)+14\left(8w-45\right)$$

Вынесите за скобки общий член 8w-45, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(8w-45\right)\left(3w+14\right)$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$24w^{2}-23w-630=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$w=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 24\left(-630\right)}}{2\times 24}$$

Возведите -23 в квадрат.

$$w=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 24\left(-630\right)}}{2\times 24}$$

Умножьте -4 на 24.

$$w=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-96\left(-630\right)}}{2\times 24}$$

Умножьте -96 на -630.

$$w=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529+60480}}{2\times 24}$$

Прибавьте 529 к 60480.

$$w=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{61009}}{2\times 24}$$

Извлеките квадратный корень из 61009.

$$w=\frac{-\left(-23\right)±247}{2\times 24}$$

Число, противоположное -23, равно 23.

$$w=\frac{23±247}{2\times 24}$$

Умножьте 2 на 24.

$$w=\frac{23±247}{48}$$

Решите уравнение w=\frac{23±247}{48} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 23 к 247.

$$w=\frac{270}{48}$$

Привести дробь \frac{270}{48} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 6.

$$w=\frac{45}{8}$$

Решите уравнение w=\frac{23±247}{48} при условии, что ± — минус. Вычтите 247 из 23.

$$w=-\frac{224}{48}$$

Привести дробь \frac{-224}{48} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 16.

$$w=-\frac{14}{3}$$

Разложите исходное выражение на множители с помощью ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Подставьте \frac{45}{8} вместо x_{1} и -\frac{14}{3} вместо x_{2}.

$$24w^{2}-23w-630=24\left(w-\frac{45}{8}\right)\left(w-\left(-\frac{14}{3}\right)\right)$$

Упростите все выражения типа p-\left(-q\right) до выражений типа p+q.

$$24w^{2}-23w-630=24\left(w-\frac{45}{8}\right)\left(w+\frac{14}{3}\right)$$

Вычтите \frac{45}{8} из w. Для этого найдите общий знаменатель и разность числителей. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$24w^{2}-23w-630=24\times \frac{8w-45}{8}\left(w+\frac{14}{3}\right)$$

Прибавьте \frac{14}{3} к w, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$24w^{2}-23w-630=24\times \frac{8w-45}{8}\times \frac{3w+14}{3}$$

Умножьте \frac{8w-45}{8} на \frac{3w+14}{3}, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$24w^{2}-23w-630=24\times \frac{\left(8w-45\right)\left(3w+14\right)}{8\times 3}$$

Умножьте 8 на 3.

$$24w^{2}-23w-630=24\times \frac{\left(8w-45\right)\left(3w+14\right)}{24}$$

Сократите наибольший общий делитель 24 в 24 и 24.

$$24w^{2}-23w-630=\left(8w-45\right)\left(3w+14\right)$$

Вычислить

$$\left(8w-45\right)\left(3w+14\right)$$