Решить 24k^2+50k+24=0

$$24 { k }^{ 2 } +50k+24 = 0$$

Найдите k

$$k = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1,333333333$$

$$k=-\frac{3}{4}=-0,75$$

Способ разложения на множители путем группировки

Разделите обе части на 2.

$$12k^{2}+25k+12=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 12k^{2}+ak+bk+12. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=25 ab=12\times 12=144$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 144.

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 25.

$$a=9 b=16$$

Перепишите 12k^{2}+25k+12 как \left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right).

$$\left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right)$$

Разложите 3k в первом и 4 в второй группе.

$$3k\left(4k+3\right)+4\left(4k+3\right)$$

Вынесите за скобки общий член 4k+3, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(4k+3\right)\left(3k+4\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 4k+3=0 и 3k+4=0у.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 24 вместо a, 50 вместо b и 24 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-50±\sqrt{50^{2}-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

Возведите 50 в квадрат.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

Умножьте -4 на 24.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-96\times 24}}{2\times 24}$$

Умножьте -96 на 24.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-2304}}{2\times 24}$$

Прибавьте 2500 к -2304.

$$k=\frac{-50±\sqrt{196}}{2\times 24}$$

Извлеките квадратный корень из 196.

$$k=\frac{-50±14}{2\times 24}$$

Умножьте 2 на 24.

$$k=\frac{-50±14}{48}$$

Решите уравнение k=\frac{-50±14}{48} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -50 к 14.

$$k=-\frac{36}{48}$$

Привести дробь \frac{-36}{48} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 12.

$$k=-\frac{3}{4}$$

Решите уравнение k=\frac{-50±14}{48} при условии, что ± — минус. Вычтите 14 из -50.

$$k=-\frac{64}{48}$$

Привести дробь \frac{-64}{48} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 16.

$$k=-\frac{4}{3}$$

Уравнение решено.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

Вычтите 24 из обеих частей уравнения.

$$24k^{2}+50k+24-24=-24$$

Если из 24 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$24k^{2}+50k=-24$$

Разделите обе части на 24.

$$\frac{24k^{2}+50k}{24}=-\frac{24}{24}$$

Деление на 24 аннулирует операцию умножения на 24.

$$k^{2}+\frac{50}{24}k=-\frac{24}{24}$$

Привести дробь \frac{50}{24} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-\frac{24}{24}$$

Разделите -24 на 24.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-1$$

Деление \frac{25}{12}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{25}{24}. Затем добавьте квадрат \frac{25}{24} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}=-1+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}$$

Возведите \frac{25}{24} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=-1+\frac{625}{576}$$

Прибавьте -1 к \frac{625}{576}.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=\frac{49}{576}$$

Коэффициент k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{49}{576}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{576}}$$

Упростите.

$$k+\frac{25}{24}=\frac{7}{24} k+\frac{25}{24}=-\frac{7}{24}$$

Вычтите \frac{25}{24} из обеих частей уравнения.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$