Решить 23x^2+5x+3=0

$$23 x ^ { 2 } + 5 x + 3 = 0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{-5+\sqrt{251}i}{46}\approx -0,108695652+0,344412598i$$

$$x=\frac{-\sqrt{251}i-5}{46}\approx -0,108695652-0,344412598i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$23x^{2}+5x+3=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 23 вместо a, 5 вместо b и 3 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 23\times 3}}{2\times 23}$$

Возведите 5 в квадрат.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 23\times 3}}{2\times 23}$$

Умножьте -4 на 23.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-92\times 3}}{2\times 23}$$

Умножьте -92 на 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-276}}{2\times 23}$$

Прибавьте 25 к -276.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-251}}{2\times 23}$$

Извлеките квадратный корень из -251.

$$x=\frac{-5±\sqrt{251}i}{2\times 23}$$

Умножьте 2 на 23.

$$x=\frac{-5±\sqrt{251}i}{46}$$

Решите уравнение x=\frac{-5±\sqrt{251}i}{46} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -5 к i\sqrt{251}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{251}i}{46}$$

Решите уравнение x=\frac{-5±\sqrt{251}i}{46} при условии, что ± — минус. Вычтите i\sqrt{251} из -5.

$$x=\frac{-\sqrt{251}i-5}{46}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{-5+\sqrt{251}i}{46} x=\frac{-\sqrt{251}i-5}{46}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$23x^{2}+5x+3=0$$

Вычтите 3 из обеих частей уравнения.

$$23x^{2}+5x+3-3=-3$$

Если из 3 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$23x^{2}+5x=-3$$

Разделите обе части на 23.

$$\frac{23x^{2}+5x}{23}=-\frac{3}{23}$$

Деление на 23 аннулирует операцию умножения на 23.

$$x^{2}+\frac{5}{23}x=-\frac{3}{23}$$

Деление \frac{5}{23}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{5}{46}. Затем добавьте квадрат \frac{5}{46} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{5}{23}x+\left(\frac{5}{46}\right)^{2}=-\frac{3}{23}+\left(\frac{5}{46}\right)^{2}$$

Возведите \frac{5}{46} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{5}{23}x+\frac{25}{2116}=-\frac{3}{23}+\frac{25}{2116}$$

Прибавьте -\frac{3}{23} к \frac{25}{2116}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{5}{23}x+\frac{25}{2116}=-\frac{251}{2116}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{5}{23}x+\frac{25}{2116}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{46}\right)^{2}=-\frac{251}{2116}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{46}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{251}{2116}}$$

Упростите.

$$x+\frac{5}{46}=\frac{\sqrt{251}i}{46} x+\frac{5}{46}=-\frac{\sqrt{251}i}{46}$$

Вычтите \frac{5}{46} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{-5+\sqrt{251}i}{46} x=\frac{-\sqrt{251}i-5}{46}$$