Решить 23x^2+45x-2

$$23 x ^ { 2 } + 45 x - 2$$

Разложить на множители

$$\left(23x-1\right)\left(x+2\right)$$

Действия по решению

Разложите выражение на множители путем группировки. Сначала выражение необходимо переписать в следующем виде: 23x^{2}+ax+bx-2. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=45 ab=23\left(-2\right)=-46$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -46.

$$-1,46 -2,23$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+46=45 -2+23=21$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 45.

$$a=-1 b=46$$

Перепишите 23x^{2}+45x-2 как \left(23x^{2}-x\right)+\left(46x-2\right).

$$\left(23x^{2}-x\right)+\left(46x-2\right)$$

Разложите x в первом и 2 в второй группе.

$$x\left(23x-1\right)+2\left(23x-1\right)$$

Вынесите за скобки общий член 23x-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(23x-1\right)\left(x+2\right)$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$23x^{2}+45x-2=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x=\frac{-45±\sqrt{45^{2}-4\times 23\left(-2\right)}}{2\times 23}$$

Возведите 45 в квадрат.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-4\times 23\left(-2\right)}}{2\times 23}$$

Умножьте -4 на 23.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-92\left(-2\right)}}{2\times 23}$$

Умножьте -92 на -2.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025+184}}{2\times 23}$$

Прибавьте 2025 к 184.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2209}}{2\times 23}$$

Извлеките квадратный корень из 2209.

$$x=\frac{-45±47}{2\times 23}$$

Умножьте 2 на 23.

$$x=\frac{-45±47}{46}$$

Решите уравнение x=\frac{-45±47}{46} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -45 к 47.

$$x=\frac{2}{46}$$

Привести дробь \frac{2}{46} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=\frac{1}{23}$$

Решите уравнение x=\frac{-45±47}{46} при условии, что ± — минус. Вычтите 47 из -45.

$$x=-\frac{92}{46}$$

Разделите -92 на 46.

$$x=-2$$

Разложите исходное выражение на множители с помощью ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Подставьте \frac{1}{23} вместо x_{1} и -2 вместо x_{2}.

$$23x^{2}+45x-2=23\left(x-\frac{1}{23}\right)\left(x-\left(-2\right)\right)$$

Упростите все выражения типа p-\left(-q\right) до выражений типа p+q.

$$23x^{2}+45x-2=23\left(x-\frac{1}{23}\right)\left(x+2\right)$$

Вычтите \frac{1}{23} из x. Для этого найдите общий знаменатель и разность числителей. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$23x^{2}+45x-2=23\times \frac{23x-1}{23}\left(x+2\right)$$

Сократите наибольший общий делитель 23 в 23 и 23.

$$23x^{2}+45x-2=\left(23x-1\right)\left(x+2\right)$$

Вычислить

$$\left(23x-1\right)\left(x+2\right)$$