Решить 2y^2+y-21=0

$$2 y ^ { 2 } + y - 21 = 0$$

Найдите y

$$y = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$y=3$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 2y^{2}+ay+by-21. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=1 ab=2\left(-21\right)=-42$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 1.

$$a=-6 b=7$$

Перепишите 2y^{2}+y-21 как \left(2y^{2}-6y\right)+\left(7y-21\right).

$$\left(2y^{2}-6y\right)+\left(7y-21\right)$$

Разложите 2y в первом и 7 в второй группе.

$$2y\left(y-3\right)+7\left(y-3\right)$$

Вынесите за скобки общий член y-3, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(y-3\right)\left(2y+7\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите y-3=0 и 2y+7=0у.

$$y=3 y=-\frac{7}{2}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2y^{2}+y-21=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, 1 вместо b и -21 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-21\right)}}{2\times 2}$$

Возведите 1 в квадрат.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-21\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-21\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на -21.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1+168}}{2\times 2}$$

Прибавьте 1 к 168.

$$y=\frac{-1±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из 169.

$$y=\frac{-1±13}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$y=\frac{-1±13}{4}$$

Решите уравнение y=\frac{-1±13}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -1 к 13.

$$y=\frac{12}{4}$$

Разделите 12 на 4.

$$y=3$$

Решите уравнение y=\frac{-1±13}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 13 из -1.

$$y=-\frac{14}{4}$$

Привести дробь \frac{-14}{4} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$y=-\frac{7}{2}$$

Уравнение решено.

$$y=3 y=-\frac{7}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2y^{2}+y-21=0$$

Прибавьте 21 к обеим частям уравнения.

$$2y^{2}+y-21-\left(-21\right)=-\left(-21\right)$$

Если из -21 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2y^{2}+y=-\left(-21\right)$$

Вычтите -21 из 0.

$$2y^{2}+y=21$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2y^{2}+y}{2}=\frac{21}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y=\frac{21}{2}$$

Деление \frac{1}{2}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{1}{4}. Затем добавьте квадрат \frac{1}{4} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{21}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Возведите \frac{1}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}=\frac{21}{2}+\frac{1}{16}$$

Прибавьте \frac{21}{2} к \frac{1}{16}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}=\frac{169}{16}$$

Коэффициент y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Упростите.

$$y+\frac{1}{4}=\frac{13}{4} y+\frac{1}{4}=-\frac{13}{4}$$

Вычтите \frac{1}{4} из обеих частей уравнения.

$$y=3 y=-\frac{7}{2}$$