Решить 2y^2+2y-1=0

$$2 y ^ { 2 } + 2 y - 1 = 0$$

Найдите y

$$y=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\approx 0,366025404$$

$$y=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}\approx -1,366025404$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2y^{2}+2y-1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, 2 вместо b и -1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Возведите 2 в квадрат.

$$y=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$y=\frac{-2±\sqrt{4-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на -1.

$$y=\frac{-2±\sqrt{4+8}}{2\times 2}$$

Прибавьте 4 к 8.

$$y=\frac{-2±\sqrt{12}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из 12.

$$y=\frac{-2±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$y=\frac{-2±2\sqrt{3}}{4}$$

Решите уравнение y=\frac{-2±2\sqrt{3}}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -2 к 2\sqrt{3}.

$$y=\frac{2\sqrt{3}-2}{4}$$

Разделите -2+2\sqrt{3} на 4.

$$y=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$$

Решите уравнение y=\frac{-2±2\sqrt{3}}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 2\sqrt{3} из -2.

$$y=\frac{-2\sqrt{3}-2}{4}$$

Разделите -2-2\sqrt{3} на 4.

$$y=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$$

Уравнение решено.

$$y=\frac{\sqrt{3}-1}{2} y=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2y^{2}+2y-1=0$$

Прибавьте 1 к обеим частям уравнения.

$$2y^{2}+2y-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Если из -1 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2y^{2}+2y=-\left(-1\right)$$

Вычтите -1 из 0.

$$2y^{2}+2y=1$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2y^{2}+2y}{2}=\frac{1}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$y^{2}+\frac{2}{2}y=\frac{1}{2}$$

Разделите 2 на 2.

$$y^{2}+y=\frac{1}{2}$$

Деление 1, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{1}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{1}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$y^{2}+y+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{1}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$y^{2}+y+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Прибавьте \frac{1}{2} к \frac{1}{4}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$y^{2}+y+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Коэффициент y^{2}+y+\frac{1}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Упростите.

$$y+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} y+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Вычтите \frac{1}{2} из обеих частей уравнения.

$$y=\frac{\sqrt{3}-1}{2} y=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$$