Решить 2x-5=sqrt{x^2-7}

$$2 x - 5 = \sqrt { x ^ { 2 } - 7 }$$

Найдите x

$$x=4$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2,666666667$$

Действия по решению

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(2x-5\right)^{2}=\left(\sqrt{x^{2}-7}\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(2x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}-20x+25=\left(\sqrt{x^{2}-7}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{x^{2}-7} в степени 2 и получите x^{2}-7.

$$4x^{2}-20x+25=x^{2}-7$$

Вычтите x^{2} из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}-20x+25-x^{2}=-7$$

Объедините 4x^{2} и -x^{2}, чтобы получить 3x^{2}.

$$3x^{2}-20x+25=-7$$

Прибавьте 7 к обеим частям.

$$3x^{2}-20x+25+7=0$$

Чтобы вычислить 32, сложите 25 и 7.

$$3x^{2}-20x+32=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 3x^{2}+ax+bx+32. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-20 ab=3\times 32=96$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 96.

$$-1,-96 -2,-48 -3,-32 -4,-24 -6,-16 -8,-12$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-96=-97 -2-48=-50 -3-32=-35 -4-24=-28 -6-16=-22 -8-12=-20$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -20.

$$a=-12 b=-8$$

Перепишите 3x^{2}-20x+32 как \left(3x^{2}-12x\right)+\left(-8x+32\right).

$$\left(3x^{2}-12x\right)+\left(-8x+32\right)$$

Разложите 3x в первом и -8 в второй группе.

$$3x\left(x-4\right)-8\left(x-4\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-4, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-4\right)\left(3x-8\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-4=0 и 3x-8=0у.

$$x=4 x=\frac{8}{3}$$

Подставьте 4 вместо x в уравнении 2x-5=\sqrt{x^{2}-7}.

$$2\times 4-5=\sqrt{4^{2}-7}$$

Упростите. Значение x=4 удовлетворяет уравнению.

$$3=3$$

Подставьте \frac{8}{3} вместо x в уравнении 2x-5=\sqrt{x^{2}-7}.

$$2\times \frac{8}{3}-5=\sqrt{\left(\frac{8}{3}\right)^{2}-7}$$

Упростите. Значение x=\frac{8}{3} удовлетворяет уравнению.

$$\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$$

Список всех решений 2x-5=\sqrt{x^{2}-7}.

$$x=4 x=\frac{8}{3}$$