Решить 2x^4+7x^3+16x+56=0

$$2 x ^ { 4 } + 7 x ^ { 3 } + 16 x + 56 = 0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=-\sqrt{3}i+1\approx 1-1,732050808i$$

$$x=-2$$

$$x=1+\sqrt{3}i\approx 1+1,732050808i$$

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

Действия по решению

Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член 56, а q делит старший коэффициент 2. Перечислите всех кандидатов \frac{p}{q}.

$$±28,±56,±14,±7,±4,±8,±\frac{7}{2},±2,±1,±\frac{1}{2}$$

Найдите один такой корень, перепробовав все целочисленные значения, начиная с наименьшего по модулю. Если целочисленных корней не найдено, попробуйте дробные значения.

$$x=-2$$

По факторам Ньютона, x-k является фактором многочлена сумме для каждого корневого k. Разделите 2x^{4}+7x^{3}+16x+56 на x+2, чтобы получить 2x^{3}+3x^{2}-6x+28. Устраните уравнение, в котором результат равняется 0.

$$2x^{3}+3x^{2}-6x+28=0$$

Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член 28, а q делит старший коэффициент 2. Перечислите всех кандидатов \frac{p}{q}.

$$±14,±28,±7,±\frac{7}{2},±2,±4,±1,±\frac{1}{2}$$

Найдите один такой корень, перепробовав все целочисленные значения, начиная с наименьшего по модулю. Если целочисленных корней не найдено, попробуйте дробные значения.

$$x=-\frac{7}{2}$$

По факторам Ньютона, x-k является фактором многочлена сумме для каждого корневого k. Разделите 2x^{3}+3x^{2}-6x+28 на 2\left(x+\frac{7}{2}\right)=2x+7, чтобы получить x^{2}-2x+4. Устраните уравнение, в котором результат равняется 0.

$$x^{2}-2x+4=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 1, b на -2 и c на 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

Выполните арифметические операции.

$$x=\frac{2±\sqrt{-12}}{2}$$

Решение x^{2}-2x+4=0 уравнений, когда ±-плюс и когда ± — минус.

$$x=-\sqrt{3}i+1 x=1+\sqrt{3}i$$

Перечислите все найденные решения.

$$x=-2 x=-\frac{7}{2} x=-\sqrt{3}i+1 x=1+\sqrt{3}i$$

Найдите x

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$x=-2$$

Действия по решению

Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член 56, а q делит старший коэффициент 2. Перечислите всех кандидатов \frac{p}{q}.

$$±28,±56,±14,±7,±4,±8,±\frac{7}{2},±2,±1,±\frac{1}{2}$$

Найдите один такой корень, перепробовав все целочисленные значения, начиная с наименьшего по модулю. Если целочисленных корней не найдено, попробуйте дробные значения.

$$x=-2$$

По факторам Ньютона, x-k является фактором многочлена сумме для каждого корневого k. Разделите 2x^{4}+7x^{3}+16x+56 на x+2, чтобы получить 2x^{3}+3x^{2}-6x+28. Устраните уравнение, в котором результат равняется 0.

$$2x^{3}+3x^{2}-6x+28=0$$

Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член 28, а q делит старший коэффициент 2. Перечислите всех кандидатов \frac{p}{q}.

$$±14,±28,±7,±\frac{7}{2},±2,±4,±1,±\frac{1}{2}$$

Найдите один такой корень, перепробовав все целочисленные значения, начиная с наименьшего по модулю. Если целочисленных корней не найдено, попробуйте дробные значения.

$$x=-\frac{7}{2}$$

По факторам Ньютона, x-k является фактором многочлена сумме для каждого корневого k. Разделите 2x^{3}+3x^{2}-6x+28 на 2\left(x+\frac{7}{2}\right)=2x+7, чтобы получить x^{2}-2x+4. Устраните уравнение, в котором результат равняется 0.

$$x^{2}-2x+4=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 1, b на -2 и c на 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

Выполните арифметические операции.

$$x=\frac{2±\sqrt{-12}}{2}$$

Решения нет, так как квадратный корень из отрицательного числа не существует в области вещественных чисел.

$$x\in \emptyset$$

Перечислите все найденные решения.

$$x=-2 x=-\frac{7}{2}$$