Решить 2x^2-34x=-22

$$2 x ^ { 2 } - 34 x = - 22$$

Найдите x

$$x = \frac{7 \sqrt{5} + 17}{2} \approx 16,326237921$$

$$x=\frac{17-7\sqrt{5}}{2}\approx 0,673762079$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}-34x=-22$$

Прибавьте 22 к обеим частям уравнения.

$$2x^{2}-34x-\left(-22\right)=-22-\left(-22\right)$$

Если из -22 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}-34x-\left(-22\right)=0$$

Вычтите -22 из 0.

$$2x^{2}-34x+22=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, -34 вместо b и 22 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{\left(-34\right)^{2}-4\times 2\times 22}}{2\times 2}$$

Возведите -34 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{1156-4\times 2\times 22}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{1156-8\times 22}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на 22.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{1156-176}}{2\times 2}$$

Прибавьте 1156 к -176.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{980}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из 980.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±14\sqrt{5}}{2\times 2}$$

Число, противоположное -34, равно 34.

$$x=\frac{34±14\sqrt{5}}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{34±14\sqrt{5}}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{34±14\sqrt{5}}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 34 к 14\sqrt{5}.

$$x=\frac{14\sqrt{5}+34}{4}$$

Разделите 34+14\sqrt{5} на 4.

$$x=\frac{7\sqrt{5}+17}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{34±14\sqrt{5}}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 14\sqrt{5} из 34.

$$x=\frac{34-14\sqrt{5}}{4}$$

Разделите 34-14\sqrt{5} на 4.

$$x=\frac{17-7\sqrt{5}}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{7\sqrt{5}+17}{2} x=\frac{17-7\sqrt{5}}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-34x=-22$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}-34x}{2}=-\frac{22}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{34}{2}\right)x=-\frac{22}{2}$$

Разделите -34 на 2.

$$x^{2}-17x=-\frac{22}{2}$$

Разделите -22 на 2.

$$x^{2}-17x=-11$$

Деление -17, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{17}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{17}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-17x+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-11+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{17}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=-11+\frac{289}{4}$$

Прибавьте -11 к \frac{289}{4}.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=\frac{245}{4}$$

Коэффициент x^{2}-17x+\frac{289}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{245}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{245}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{17}{2}=\frac{7\sqrt{5}}{2} x-\frac{17}{2}=-\frac{7\sqrt{5}}{2}$$

Прибавьте \frac{17}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{7\sqrt{5}+17}{2} x=\frac{17-7\sqrt{5}}{2}$$