Решить 2x^2-3x-1=-5

$$2 x ^ { 2 } - 3 x - 1 = - 5$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{3+\sqrt{23}i}{4}\approx 0,75+1,198957881i$$

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+3}{4}\approx 0,75-1,198957881i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}-3x-1=-5$$

Прибавьте 5 к обеим частям уравнения.

$$2x^{2}-3x-1-\left(-5\right)=-5-\left(-5\right)$$

Если из -5 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}-3x-1-\left(-5\right)=0$$

Вычтите -5 из -1.

$$2x^{2}-3x+4=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, -3 вместо b и 4 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\times 4}}{2\times 2}$$

Возведите -3 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\times 4}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\times 4}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на 4.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-32}}{2\times 2}$$

Прибавьте 9 к -32.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{-23}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из -23.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{23}i}{2\times 2}$$

Число, противоположное -3, равно 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{23}i}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{3±\sqrt{23}i}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{3±\sqrt{23}i}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 3 к i\sqrt{23}.

$$x=\frac{3+\sqrt{23}i}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{3±\sqrt{23}i}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите i\sqrt{23} из 3.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+3}{4}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{3+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i+3}{4}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-3x-1=-5$$

Прибавьте 1 к обеим частям уравнения.

$$2x^{2}-3x-1-\left(-1\right)=-5-\left(-1\right)$$

Если из -1 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}-3x=-5-\left(-1\right)$$

Вычтите -1 из -5.

$$2x^{2}-3x=-4$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}-3x}{2}=-\frac{4}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{4}{2}$$

Разделите -4 на 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-2$$

Деление -\frac{3}{2}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{3}{4}. Затем добавьте квадрат -\frac{3}{4} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{3}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-2+\frac{9}{16}$$

Прибавьте -2 к \frac{9}{16}.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{23}{16}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{23}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{16}}$$

Упростите.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{23}i}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{23}i}{4}$$

Прибавьте \frac{3}{4} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{3+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i+3}{4}$$