Решить 2x^2-19x-10=0

$$2 x ^ { 2 } - 19 x - 10 = 0$$

Найдите x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=10$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 2x^{2}+ax+bx-10. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-19 ab=2\left(-10\right)=-20$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -19.

$$a=-20 b=1$$

Перепишите 2x^{2}-19x-10 как \left(2x^{2}-20x\right)+\left(x-10\right).

$$\left(2x^{2}-20x\right)+\left(x-10\right)$$

Вынесите за скобки 2x в 2x^{2}-20x.

$$2x\left(x-10\right)+x-10$$

Вынесите за скобки общий член x-10, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-10\right)\left(2x+1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-10=0 и 2x+1=0у.

$$x=10 x=-\frac{1}{2}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}-19x-10=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, -19 вместо b и -10 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 2\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

Возведите -19 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 2\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-8\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на -10.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361+80}}{2\times 2}$$

Прибавьте 361 к 80.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из 441.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±21}{2\times 2}$$

Число, противоположное -19, равно 19.

$$x=\frac{19±21}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{19±21}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{19±21}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 19 к 21.

$$x=\frac{40}{4}$$

Разделите 40 на 4.

$$x=10$$

Решите уравнение x=\frac{19±21}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 21 из 19.

$$x=-\frac{2}{4}$$

Привести дробь \frac{-2}{4} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=10 x=-\frac{1}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-19x-10=0$$

Прибавьте 10 к обеим частям уравнения.

$$2x^{2}-19x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Если из -10 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}-19x=-\left(-10\right)$$

Вычтите -10 из 0.

$$2x^{2}-19x=10$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}-19x}{2}=\frac{10}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x=\frac{10}{2}$$

Разделите 10 на 2.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x=5$$

Деление -\frac{19}{2}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{19}{4}. Затем добавьте квадрат -\frac{19}{4} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x+\left(-\frac{19}{4}\right)^{2}=5+\left(-\frac{19}{4}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{19}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x+\frac{361}{16}=5+\frac{361}{16}$$

Прибавьте 5 к \frac{361}{16}.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x+\frac{361}{16}=\frac{441}{16}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{19}{2}x+\frac{361}{16}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{19}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

Упростите.

$$x-\frac{19}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{19}{4}=-\frac{21}{4}$$

Прибавьте \frac{19}{4} к обеим частям уравнения.

$$x=10 x=-\frac{1}{2}$$