Решить 2x^2-15x-1=0

$$2 x ^ { 2 } - 15 x - 1 = 0$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{233} + 15}{4} \approx 7,566084381$$

$$x=\frac{15-\sqrt{233}}{4}\approx -0,066084381$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}-15x-1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, -15 вместо b и -1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Возведите -15 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на -1.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+8}}{2\times 2}$$

Прибавьте 225 к 8.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{233}}{2\times 2}$$

Число, противоположное -15, равно 15.

$$x=\frac{15±\sqrt{233}}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{15±\sqrt{233}}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{15±\sqrt{233}}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 15 к \sqrt{233}.

$$x=\frac{\sqrt{233}+15}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{15±\sqrt{233}}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{233} из 15.

$$x=\frac{15-\sqrt{233}}{4}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{233}+15}{4} x=\frac{15-\sqrt{233}}{4}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-15x-1=0$$

Прибавьте 1 к обеим частям уравнения.

$$2x^{2}-15x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Если из -1 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}-15x=-\left(-1\right)$$

Вычтите -1 из 0.

$$2x^{2}-15x=1$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}-15x}{2}=\frac{1}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x=\frac{1}{2}$$

Деление -\frac{15}{2}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{15}{4}. Затем добавьте квадрат -\frac{15}{4} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\left(-\frac{15}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{15}{4}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{15}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}=\frac{1}{2}+\frac{225}{16}$$

Прибавьте \frac{1}{2} к \frac{225}{16}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}=\frac{233}{16}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{4}\right)^{2}=\frac{233}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{233}{16}}$$

Упростите.

$$x-\frac{15}{4}=\frac{\sqrt{233}}{4} x-\frac{15}{4}=-\frac{\sqrt{233}}{4}$$

Прибавьте \frac{15}{4} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{233}+15}{4} x=\frac{15-\sqrt{233}}{4}$$