Решить 2z^2+3z+2=0

$$2 { z }^{ 2 } +3z+2=0$$

Найдите z

$$z=\frac{-3+\sqrt{7}i}{4}\approx -0,75+0,661437828i$$

$$z=\frac{-\sqrt{7}i-3}{4}\approx -0,75-0,661437828i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2z^{2}+3z+2=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, 3 вместо b и 2 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

Возведите 3 в квадрат.

$$z=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$z=\frac{-3±\sqrt{9-8\times 2}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на 2.

$$z=\frac{-3±\sqrt{9-16}}{2\times 2}$$

Прибавьте 9 к -16.

$$z=\frac{-3±\sqrt{-7}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из -7.

$$z=\frac{-3±\sqrt{7}i}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$z=\frac{-3±\sqrt{7}i}{4}$$

Решите уравнение z=\frac{-3±\sqrt{7}i}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -3 к i\sqrt{7}.

$$z=\frac{-3+\sqrt{7}i}{4}$$

Решите уравнение z=\frac{-3±\sqrt{7}i}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите i\sqrt{7} из -3.

$$z=\frac{-\sqrt{7}i-3}{4}$$

Уравнение решено.

$$z=\frac{-3+\sqrt{7}i}{4} z=\frac{-\sqrt{7}i-3}{4}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2z^{2}+3z+2=0$$

Вычтите 2 из обеих частей уравнения.

$$2z^{2}+3z+2-2=-2$$

Если из 2 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2z^{2}+3z=-2$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2z^{2}+3z}{2}=-\frac{2}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$z^{2}+\frac{3}{2}z=-\frac{2}{2}$$

Разделите -2 на 2.

$$z^{2}+\frac{3}{2}z=-1$$

Деление \frac{3}{2}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{3}{4}. Затем добавьте квадрат \frac{3}{4} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$z^{2}+\frac{3}{2}z+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=-1+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Возведите \frac{3}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$z^{2}+\frac{3}{2}z+\frac{9}{16}=-1+\frac{9}{16}$$

Прибавьте -1 к \frac{9}{16}.

$$z^{2}+\frac{3}{2}z+\frac{9}{16}=-\frac{7}{16}$$

Коэффициент z^{2}+\frac{3}{2}z+\frac{9}{16}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(z+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{16}}$$

Упростите.

$$z+\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{7}i}{4} z+\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{7}i}{4}$$

Вычтите \frac{3}{4} из обеих частей уравнения.

$$z=\frac{-3+\sqrt{7}i}{4} z=\frac{-\sqrt{7}i-3}{4}$$