Решить 2x^2-5x-7=0

$$2 { x }^{ 2 } -5x-7=0$$

Найдите x

$$x=-1$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 2x^{2}+ax+bx-7. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-5 ab=2\left(-7\right)=-14$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -14.

$$1,-14 2,-7$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-14=-13 2-7=-5$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -5.

$$a=-7 b=2$$

Перепишите 2x^{2}-5x-7 как \left(2x^{2}-7x\right)+\left(2x-7\right).

$$\left(2x^{2}-7x\right)+\left(2x-7\right)$$

Вынесите за скобки x в 2x^{2}-7x.

$$x\left(2x-7\right)+2x-7$$

Вынесите за скобки общий член 2x-7, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(2x-7\right)\left(x+1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 2x-7=0 и x+1=0у.

$$x=\frac{7}{2} x=-1$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}-5x-7=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, -5 вместо b и -7 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Возведите -5 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на -7.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+56}}{2\times 2}$$

Прибавьте 25 к 56.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{81}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из 81.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±9}{2\times 2}$$

Число, противоположное -5, равно 5.

$$x=\frac{5±9}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{5±9}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{5±9}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 5 к 9.

$$x=\frac{14}{4}$$

Привести дробь \frac{14}{4} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=\frac{7}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{5±9}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 9 из 5.

$$x=-\frac{4}{4}$$

Разделите -4 на 4.

$$x=-1$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{7}{2} x=-1$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-5x-7=0$$

Прибавьте 7 к обеим частям уравнения.

$$2x^{2}-5x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Если из -7 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}-5x=-\left(-7\right)$$

Вычтите -7 из 0.

$$2x^{2}-5x=7$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}-5x}{2}=\frac{7}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=\frac{7}{2}$$

Деление -\frac{5}{2}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{5}{4}. Затем добавьте квадрат -\frac{5}{4} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{7}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{5}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{7}{2}+\frac{25}{16}$$

Прибавьте \frac{7}{2} к \frac{25}{16}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{81}{16}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Упростите.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{9}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{9}{4}$$

Прибавьте \frac{5}{4} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{7}{2} x=-1$$