Решить 2x^2+x-5=0

$$2 { x }^{ 2 } +x-5=0$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{41} - 1}{4} \approx 1,350781059$$

$$x=\frac{-\sqrt{41}-1}{4}\approx -1,850781059$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}+x-5=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, 1 вместо b и -5 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Возведите 1 в квадрат.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на -5.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+40}}{2\times 2}$$

Прибавьте 1 к 40.

$$x=\frac{-1±\sqrt{41}}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{41}}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-1±\sqrt{41}}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -1 к \sqrt{41}.

$$x=\frac{\sqrt{41}-1}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-1±\sqrt{41}}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{41} из -1.

$$x=\frac{-\sqrt{41}-1}{4}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{41}-1}{4} x=\frac{-\sqrt{41}-1}{4}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+x-5=0$$

Прибавьте 5 к обеим частям уравнения.

$$2x^{2}+x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Если из -5 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}+x=-\left(-5\right)$$

Вычтите -5 из 0.

$$2x^{2}+x=5$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=\frac{5}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{5}{2}$$

Деление \frac{1}{2}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{1}{4}. Затем добавьте квадрат \frac{1}{4} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Возведите \frac{1}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{2}+\frac{1}{16}$$

Прибавьте \frac{5}{2} к \frac{1}{16}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{41}{16}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{41}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{16}}$$

Упростите.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{41}}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{41}}{4}$$

Вычтите \frac{1}{4} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{41}-1}{4} x=\frac{-\sqrt{41}-1}{4}$$