Решить 2x^2+13x-24=0

$$2 { x }^{ 2 } +13x-24=0$$

Найдите x

$$x=-8$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 2x^{2}+ax+bx-24. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=13 ab=2\left(-24\right)=-48$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -48.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 13.

$$a=-3 b=16$$

Перепишите 2x^{2}+13x-24 как \left(2x^{2}-3x\right)+\left(16x-24\right).

$$\left(2x^{2}-3x\right)+\left(16x-24\right)$$

Разложите x в первом и 8 в второй группе.

$$x\left(2x-3\right)+8\left(2x-3\right)$$

Вынесите за скобки общий член 2x-3, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(2x-3\right)\left(x+8\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 2x-3=0 и x+8=0у.

$$x=\frac{3}{2} x=-8$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}+13x-24=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, 13 вместо b и -24 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Возведите 13 в квадрат.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-8\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на -24.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+192}}{2\times 2}$$

Прибавьте 169 к 192.

$$x=\frac{-13±\sqrt{361}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из 361.

$$x=\frac{-13±19}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{-13±19}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-13±19}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -13 к 19.

$$x=\frac{6}{4}$$

Привести дробь \frac{6}{4} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-13±19}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 19 из -13.

$$x=-\frac{32}{4}$$

Разделите -32 на 4.

$$x=-8$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{3}{2} x=-8$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+13x-24=0$$

Прибавьте 24 к обеим частям уравнения.

$$2x^{2}+13x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

Если из -24 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}+13x=-\left(-24\right)$$

Вычтите -24 из 0.

$$2x^{2}+13x=24$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}+13x}{2}=\frac{24}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x=\frac{24}{2}$$

Разделите 24 на 2.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x=12$$

Деление \frac{13}{2}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{13}{4}. Затем добавьте квадрат \frac{13}{4} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\left(\frac{13}{4}\right)^{2}=12+\left(\frac{13}{4}\right)^{2}$$

Возведите \frac{13}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=12+\frac{169}{16}$$

Прибавьте 12 к \frac{169}{16}.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{361}{16}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{361}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{16}}$$

Упростите.

$$x+\frac{13}{4}=\frac{19}{4} x+\frac{13}{4}=-\frac{19}{4}$$

Вычтите \frac{13}{4} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{3}{2} x=-8$$