Решить 16x^2-72x+81

$$16 x ^ { 2 } - 72 x + 81$$

Разложить на множители

$$\left(4x-9\right)^{2}$$

Действия по решению

Разложите выражение на множители путем группировки. Сначала выражение необходимо переписать в следующем виде: 16x^{2}+ax+bx+81. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-72 ab=16\times 81=1296$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 1296.

$$-1,-1296 -2,-648 -3,-432 -4,-324 -6,-216 -8,-162 -9,-144 -12,-108 -16,-81 -18,-72 -24,-54 -27,-48 -36,-36$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-1296=-1297 -2-648=-650 -3-432=-435 -4-324=-328 -6-216=-222 -8-162=-170 -9-144=-153 -12-108=-120 -16-81=-97 -18-72=-90 -24-54=-78 -27-48=-75 -36-36=-72$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -72.

$$a=-36 b=-36$$

Перепишите 16x^{2}-72x+81 как \left(16x^{2}-36x\right)+\left(-36x+81\right).

$$\left(16x^{2}-36x\right)+\left(-36x+81\right)$$

Разложите 4x в первом и -9 в второй группе.

$$4x\left(4x-9\right)-9\left(4x-9\right)$$

Вынесите за скобки общий член 4x-9, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(4x-9\right)\left(4x-9\right)$$

Перепишите в виде квадрата двучлена.

$$\left(4x-9\right)^{2}$$

Способ выделения квадрата двучлена

Этот трехчлен имеет вид квадратного трехчлена, возможно, умноженного на общий множитель. Квадратные трехчлены можно разложить, найдя квадратные корни первого и последнего членов.

$$factor(16x^{2}-72x+81)$$

Найдите наибольший общий делитель коэффициентов.

$$gcf(16,-72,81)=1$$

Найдите квадратный корень первого члена 16x^{2}.

$$\sqrt{16x^{2}}=4x$$

Найдите квадратный корень последнего члена 81.

$$\sqrt{81}=9$$

Квадратный трехчлен равен квадрату двучлена, представляющего собой сумму или разность квадратных корней первого и последнего членов. При этом знак определяется знаком среднего члена квадратного трехчлена.

$$\left(4x-9\right)^{2}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$16x^{2}-72x+81=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{\left(-72\right)^{2}-4\times 16\times 81}}{2\times 16}$$

Возведите -72 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-4\times 16\times 81}}{2\times 16}$$

Умножьте -4 на 16.

$$x=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-64\times 81}}{2\times 16}$$

Умножьте -64 на 81.

$$x=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-5184}}{2\times 16}$$

Прибавьте 5184 к -5184.

$$x=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{0}}{2\times 16}$$

Извлеките квадратный корень из 0.

$$x=\frac{-\left(-72\right)±0}{2\times 16}$$

Число, противоположное -72, равно 72.

$$x=\frac{72±0}{2\times 16}$$

Умножьте 2 на 16.

$$x=\frac{72±0}{32}$$

Разложите исходное выражение на множители с помощью ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Подставьте \frac{9}{4} вместо x_{1} и \frac{9}{4} вместо x_{2}.

$$16x^{2}-72x+81=16\left(x-\frac{9}{4}\right)\left(x-\frac{9}{4}\right)$$

Вычтите \frac{9}{4} из x. Для этого найдите общий знаменатель и разность числителей. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$16x^{2}-72x+81=16\times \frac{4x-9}{4}\left(x-\frac{9}{4}\right)$$

Вычтите \frac{9}{4} из x. Для этого найдите общий знаменатель и разность числителей. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$16x^{2}-72x+81=16\times \frac{4x-9}{4}\times \frac{4x-9}{4}$$

Умножьте \frac{4x-9}{4} на \frac{4x-9}{4}, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$16x^{2}-72x+81=16\times \frac{\left(4x-9\right)\left(4x-9\right)}{4\times 4}$$

Умножьте 4 на 4.

$$16x^{2}-72x+81=16\times \frac{\left(4x-9\right)\left(4x-9\right)}{16}$$

Сократите наибольший общий делитель 16 в 16 и 16.

$$16x^{2}-72x+81=\left(4x-9\right)\left(4x-9\right)$$

Вычислить

$$\left(4x-9\right)^{2}$$