Решить 16x^2+74x+9=0

$$16 x ^ { 2 } + 74 x + 9 = 0$$

Найдите x

$$x = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4,5$$

$$x=-\frac{1}{8}=-0,125$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 16x^{2}+ax+bx+9. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=74 ab=16\times 9=144$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 144.

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 74.

$$a=2 b=72$$

Перепишите 16x^{2}+74x+9 как \left(16x^{2}+2x\right)+\left(72x+9\right).

$$\left(16x^{2}+2x\right)+\left(72x+9\right)$$

Разложите 2x в первом и 9 в второй группе.

$$2x\left(8x+1\right)+9\left(8x+1\right)$$

Вынесите за скобки общий член 8x+1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(8x+1\right)\left(2x+9\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 8x+1=0 и 2x+9=0у.

$$x=-\frac{1}{8} x=-\frac{9}{2}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$16x^{2}+74x+9=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 16 вместо a, 74 вместо b и 9 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-74±\sqrt{74^{2}-4\times 16\times 9}}{2\times 16}$$

Возведите 74 в квадрат.

$$x=\frac{-74±\sqrt{5476-4\times 16\times 9}}{2\times 16}$$

Умножьте -4 на 16.

$$x=\frac{-74±\sqrt{5476-64\times 9}}{2\times 16}$$

Умножьте -64 на 9.

$$x=\frac{-74±\sqrt{5476-576}}{2\times 16}$$

Прибавьте 5476 к -576.

$$x=\frac{-74±\sqrt{4900}}{2\times 16}$$

Извлеките квадратный корень из 4900.

$$x=\frac{-74±70}{2\times 16}$$

Умножьте 2 на 16.

$$x=\frac{-74±70}{32}$$

Решите уравнение x=\frac{-74±70}{32} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -74 к 70.

$$x=-\frac{4}{32}$$

Привести дробь \frac{-4}{32} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x=-\frac{1}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{-74±70}{32} при условии, что ± — минус. Вычтите 70 из -74.

$$x=-\frac{144}{32}$$

Привести дробь \frac{-144}{32} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 16.

$$x=-\frac{9}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=-\frac{1}{8} x=-\frac{9}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}+74x+9=0$$

Вычтите 9 из обеих частей уравнения.

$$16x^{2}+74x+9-9=-9$$

Если из 9 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$16x^{2}+74x=-9$$

Разделите обе части на 16.

$$\frac{16x^{2}+74x}{16}=-\frac{9}{16}$$

Деление на 16 аннулирует операцию умножения на 16.

$$x^{2}+\frac{74}{16}x=-\frac{9}{16}$$

Привести дробь \frac{74}{16} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x^{2}+\frac{37}{8}x=-\frac{9}{16}$$

Деление \frac{37}{8}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{37}{16}. Затем добавьте квадрат \frac{37}{16} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{37}{8}x+\left(\frac{37}{16}\right)^{2}=-\frac{9}{16}+\left(\frac{37}{16}\right)^{2}$$

Возведите \frac{37}{16} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{37}{8}x+\frac{1369}{256}=-\frac{9}{16}+\frac{1369}{256}$$

Прибавьте -\frac{9}{16} к \frac{1369}{256}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{37}{8}x+\frac{1369}{256}=\frac{1225}{256}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{37}{8}x+\frac{1369}{256}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{37}{16}\right)^{2}=\frac{1225}{256}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{37}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1225}{256}}$$

Упростите.

$$x+\frac{37}{16}=\frac{35}{16} x+\frac{37}{16}=-\frac{35}{16}$$

Вычтите \frac{37}{16} из обеих частей уравнения.

$$x=-\frac{1}{8} x=-\frac{9}{2}$$