Решить 15z^2+2z-8

$$15 z ^ { 2 } + 2 z - 8$$

Разложить на множители

$$\left(3z-2\right)\left(5z+4\right)$$

Действия по решению

Разложите выражение на множители путем группировки. Сначала выражение необходимо переписать в следующем виде: 15z^{2}+az+bz-8. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=2 ab=15\left(-8\right)=-120$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -120.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 2.

$$a=-10 b=12$$

Перепишите 15z^{2}+2z-8 как \left(15z^{2}-10z\right)+\left(12z-8\right).

$$\left(15z^{2}-10z\right)+\left(12z-8\right)$$

Разложите 5z в первом и 4 в второй группе.

$$5z\left(3z-2\right)+4\left(3z-2\right)$$

Вынесите за скобки общий член 3z-2, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(3z-2\right)\left(5z+4\right)$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$15z^{2}+2z-8=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$z=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 15\left(-8\right)}}{2\times 15}$$

Возведите 2 в квадрат.

$$z=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 15\left(-8\right)}}{2\times 15}$$

Умножьте -4 на 15.

$$z=\frac{-2±\sqrt{4-60\left(-8\right)}}{2\times 15}$$

Умножьте -60 на -8.

$$z=\frac{-2±\sqrt{4+480}}{2\times 15}$$

Прибавьте 4 к 480.

$$z=\frac{-2±\sqrt{484}}{2\times 15}$$

Извлеките квадратный корень из 484.

$$z=\frac{-2±22}{2\times 15}$$

Умножьте 2 на 15.

$$z=\frac{-2±22}{30}$$

Решите уравнение z=\frac{-2±22}{30} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -2 к 22.

$$z=\frac{20}{30}$$

Привести дробь \frac{20}{30} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 10.

$$z=\frac{2}{3}$$

Решите уравнение z=\frac{-2±22}{30} при условии, что ± — минус. Вычтите 22 из -2.

$$z=-\frac{24}{30}$$

Привести дробь \frac{-24}{30} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 6.

$$z=-\frac{4}{5}$$

Разложите исходное выражение на множители с помощью ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Подставьте \frac{2}{3} вместо x_{1} и -\frac{4}{5} вместо x_{2}.

$$15z^{2}+2z-8=15\left(z-\frac{2}{3}\right)\left(z-\left(-\frac{4}{5}\right)\right)$$

Упростите все выражения типа p-\left(-q\right) до выражений типа p+q.

$$15z^{2}+2z-8=15\left(z-\frac{2}{3}\right)\left(z+\frac{4}{5}\right)$$

Вычтите \frac{2}{3} из z. Для этого найдите общий знаменатель и разность числителей. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$15z^{2}+2z-8=15\times \frac{3z-2}{3}\left(z+\frac{4}{5}\right)$$

Прибавьте \frac{4}{5} к z, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$15z^{2}+2z-8=15\times \frac{3z-2}{3}\times \frac{5z+4}{5}$$

Умножьте \frac{3z-2}{3} на \frac{5z+4}{5}, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$15z^{2}+2z-8=15\times \frac{\left(3z-2\right)\left(5z+4\right)}{3\times 5}$$

Умножьте 3 на 5.

$$15z^{2}+2z-8=15\times \frac{\left(3z-2\right)\left(5z+4\right)}{15}$$

Сократите наибольший общий делитель 15 в 15 и 15.

$$15z^{2}+2z-8=\left(3z-2\right)\left(5z+4\right)$$

Вычислить

$$\left(3z-2\right)\left(5z+4\right)$$