Решить 15p^2+7p-2

$$15 p ^ { 2 } + 7 p - 2$$

Разложить на множители

$$\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)$$

Действия по решению

Разложите выражение на множители путем группировки. Сначала выражение необходимо переписать в следующем виде: 15p^{2}+ap+bp-2. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=7 ab=15\left(-2\right)=-30$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 7.

$$a=-3 b=10$$

Перепишите 15p^{2}+7p-2 как \left(15p^{2}-3p\right)+\left(10p-2\right).

$$\left(15p^{2}-3p\right)+\left(10p-2\right)$$

Разложите 3p в первом и 2 в второй группе.

$$3p\left(5p-1\right)+2\left(5p-1\right)$$

Вынесите за скобки общий член 5p-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$15p^{2}+7p-2=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$p=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 15\left(-2\right)}}{2\times 15}$$

Возведите 7 в квадрат.

$$p=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 15\left(-2\right)}}{2\times 15}$$

Умножьте -4 на 15.

$$p=\frac{-7±\sqrt{49-60\left(-2\right)}}{2\times 15}$$

Умножьте -60 на -2.

$$p=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 15}$$

Прибавьте 49 к 120.

$$p=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 15}$$

Извлеките квадратный корень из 169.

$$p=\frac{-7±13}{2\times 15}$$

Умножьте 2 на 15.

$$p=\frac{-7±13}{30}$$

Решите уравнение p=\frac{-7±13}{30} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -7 к 13.

$$p=\frac{6}{30}$$

Привести дробь \frac{6}{30} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 6.

$$p=\frac{1}{5}$$

Решите уравнение p=\frac{-7±13}{30} при условии, что ± — минус. Вычтите 13 из -7.

$$p=-\frac{20}{30}$$

Привести дробь \frac{-20}{30} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 10.

$$p=-\frac{2}{3}$$

Разложите исходное выражение на множители с помощью ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Подставьте \frac{1}{5} вместо x_{1} и -\frac{2}{3} вместо x_{2}.

$$15p^{2}+7p-2=15\left(p-\frac{1}{5}\right)\left(p-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$$

Упростите все выражения типа p-\left(-q\right) до выражений типа p+q.

$$15p^{2}+7p-2=15\left(p-\frac{1}{5}\right)\left(p+\frac{2}{3}\right)$$

Вычтите \frac{1}{5} из p. Для этого найдите общий знаменатель и разность числителей. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$15p^{2}+7p-2=15\times \frac{5p-1}{5}\left(p+\frac{2}{3}\right)$$

Прибавьте \frac{2}{3} к p, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$15p^{2}+7p-2=15\times \frac{5p-1}{5}\times \frac{3p+2}{3}$$

Умножьте \frac{5p-1}{5} на \frac{3p+2}{3}, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$15p^{2}+7p-2=15\times \frac{\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)}{5\times 3}$$

Умножьте 5 на 3.

$$15p^{2}+7p-2=15\times \frac{\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)}{15}$$

Сократите наибольший общий делитель 15 в 15 и 15.

$$15p^{2}+7p-2=\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)$$

Вычислить

$$\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)$$