Решить 12(2^x-5)=500

$$12 ( 2 ^ { x - 5 } ) = 500$$

Найдите x

$$x=\log_{2}\left(\frac{125}{3}\right)+5\approx 10,380821784$$

Действия с использованием определения логарифма

Чтобы решить уравнение, используйте правила для степеней и логарифмов.

$$12\times 2^{x-5}=500$$

Разделите обе части на 12.

$$2^{x-5}=\frac{125}{3}$$

Возьмите логарифм обеих частей уравнения.

$$\log(2^{x-5})=\log(\frac{125}{3})$$

Логарифм числа, возведенного в степень, равен произведению показателя степени на логарифм числа.

$$\left(x-5\right)\log(2)=\log(\frac{125}{3})$$

Разделите обе части на \log(2).

$$x-5=\frac{\log(\frac{125}{3})}{\log(2)}$$

По формуле изменения основания \frac{\log(a)}{\log(b)}=\log_{b}\left(a\right).

$$x-5=\log_{2}\left(\frac{125}{3}\right)$$

Прибавьте 5 к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{\ln(\frac{125}{3})}{\ln(2)}-\left(-5\right)$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{2\pi n_{1}i}{\ln(2)}+\log_{2}\left(\frac{125}{3}\right)+5$$

$$n_{1}\in \mathrm{Z}$$