Решить 11x^2-9x+1>0

$$11 { x }^{ 2 } -9x+1 > 0$$

Решение для x

$$x\in \left(-\infty,\frac{9-\sqrt{37}}{22}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{37}+9}{22},\infty\right)$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Чтобы решить неравенство, разложите левую часть на множители. Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$11x^{2}-9x+1=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 11, b на -9 и c на 1.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 11\times 1}}{2\times 11}$$

Выполните арифметические операции.

$$x=\frac{9±\sqrt{37}}{22}$$

Решение x=\frac{9±\sqrt{37}}{22} уравнений, когда ±-плюс и когда ± — минус.

$$x=\frac{\sqrt{37}+9}{22} x=\frac{9-\sqrt{37}}{22}$$

Перепишите неравенство, используя полученные решения.

$$11\left(x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}\right)\left(x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}\right)>0$$

Чтобы произведение было положительным, x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} и x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} должны одновременно быть либо отрицательными, либо положительными. Рассмотрим случай, когда x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} и x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} отрицательны.

$$x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}<0 x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}<0$$

Решение, которое удовлетворяет обоим неравенствам: x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}.

$$x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}$$

Если x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} и x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} являются положительными.

$$x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}>0 x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}>0$$

Решение, которое удовлетворяет обоим неравенствам: x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}.

$$x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}$$

Окончательное решение — это объединение полученных решений.

$$x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}\text{; }x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}$$