Решить -3x^2-8x+16=0

$$-3 { x }^{ 2 } -8x+16=0$$

Найдите x

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

$$x=-4$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -3x^{2}+ax+bx+16. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-8 ab=-3\times 16=-48$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -48.

$$1,-48 2,-24 3,-16 4,-12 6,-8$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-48=-47 2-24=-22 3-16=-13 4-12=-8 6-8=-2$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -8.

$$a=4 b=-12$$

Перепишите -3x^{2}-8x+16 как \left(-3x^{2}+4x\right)+\left(-12x+16\right).

$$\left(-3x^{2}+4x\right)+\left(-12x+16\right)$$

Разложите -x в первом и -4 в второй группе.

$$-x\left(3x-4\right)-4\left(3x-4\right)$$

Вынесите за скобки общий член 3x-4, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(3x-4\right)\left(-x-4\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 3x-4=0 и -x-4=0у.

$$x=\frac{4}{3} x=-4$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-3x^{2}-8x+16=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -3 вместо a, -8 вместо b и 16 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 16}}{2\left(-3\right)}$$

Возведите -8 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\left(-3\right)\times 16}}{2\left(-3\right)}$$

Умножьте -4 на -3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+12\times 16}}{2\left(-3\right)}$$

Умножьте 12 на 16.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+192}}{2\left(-3\right)}$$

Прибавьте 64 к 192.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{256}}{2\left(-3\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 256.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±16}{2\left(-3\right)}$$

Число, противоположное -8, равно 8.

$$x=\frac{8±16}{2\left(-3\right)}$$

Умножьте 2 на -3.

$$x=\frac{8±16}{-6}$$

Решите уравнение x=\frac{8±16}{-6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 8 к 16.

$$x=\frac{24}{-6}$$

Разделите 24 на -6.

$$x=-4$$

Решите уравнение x=\frac{8±16}{-6} при условии, что ± — минус. Вычтите 16 из 8.

$$x=-\frac{8}{-6}$$

Привести дробь \frac{-8}{-6} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=\frac{4}{3}$$

Уравнение решено.

$$x=-4 x=\frac{4}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}-8x+16=0$$

Вычтите 16 из обеих частей уравнения.

$$-3x^{2}-8x+16-16=-16$$

Если из 16 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$-3x^{2}-8x=-16$$

Разделите обе части на -3.

$$\frac{-3x^{2}-8x}{-3}=-\frac{16}{-3}$$

Деление на -3 аннулирует операцию умножения на -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{-3}\right)x=-\frac{16}{-3}$$

Разделите -8 на -3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{16}{-3}$$

Разделите -16 на -3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=\frac{16}{3}$$

Деление \frac{8}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{4}{3}. Затем добавьте квадрат \frac{4}{3} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{16}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Возведите \frac{4}{3} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{16}{3}+\frac{16}{9}$$

Прибавьте \frac{16}{3} к \frac{16}{9}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{64}{9}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{64}{9}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{9}}$$

Упростите.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{8}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{8}{3}$$

Вычтите \frac{4}{3} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{4}{3} x=-4$$