Решить -3x^2+16x+128=0

$$-3 { x }^{ 2 } +16x+128=0$$

Найдите x

$$x = \frac{8 \sqrt{7} + 8}{3} \approx 9,722003496$$

$$x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3}\approx -4,388670163$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-3x^{2}+16x+128=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -3 вместо a, 16 вместо b и 128 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\left(-3\right)\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

Возведите 16 в квадрат.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\left(-3\right)\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

Умножьте -4 на -3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+12\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

Умножьте 12 на 128.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+1536}}{2\left(-3\right)}$$

Прибавьте 256 к 1536.

$$x=\frac{-16±\sqrt{1792}}{2\left(-3\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 1792.

$$x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{2\left(-3\right)}$$

Умножьте 2 на -3.

$$x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{-6}$$

Решите уравнение x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{-6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -16 к 16\sqrt{7}.

$$x=\frac{16\sqrt{7}-16}{-6}$$

Разделите -16+16\sqrt{7} на -6.

$$x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3}$$

Решите уравнение x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{-6} при условии, что ± — минус. Вычтите 16\sqrt{7} из -16.

$$x=\frac{-16\sqrt{7}-16}{-6}$$

Разделите -16-16\sqrt{7} на -6.

$$x=\frac{8\sqrt{7}+8}{3}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3} x=\frac{8\sqrt{7}+8}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+16x+128=0$$

Вычтите 128 из обеих частей уравнения.

$$-3x^{2}+16x+128-128=-128$$

Если из 128 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$-3x^{2}+16x=-128$$

Разделите обе части на -3.

$$\frac{-3x^{2}+16x}{-3}=-\frac{128}{-3}$$

Деление на -3 аннулирует операцию умножения на -3.

$$x^{2}+\frac{16}{-3}x=-\frac{128}{-3}$$

Разделите 16 на -3.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x=-\frac{128}{-3}$$

Разделите -128 на -3.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x=\frac{128}{3}$$

Деление -\frac{16}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{8}{3}. Затем добавьте квадрат -\frac{8}{3} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{128}{3}+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{8}{3} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{128}{3}+\frac{64}{9}$$

Прибавьте \frac{128}{3} к \frac{64}{9}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{448}{9}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{448}{9}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{448}{9}}$$

Упростите.

$$x-\frac{8}{3}=\frac{8\sqrt{7}}{3} x-\frac{8}{3}=-\frac{8\sqrt{7}}{3}$$

Прибавьте \frac{8}{3} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{8\sqrt{7}+8}{3} x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3}$$