Решить -5z^2+z+12=0

$$- 5 z ^ { 2 } + z + 12 = 0$$

Найдите z

$$z = \frac{\sqrt{241} + 1}{10} \approx 1,65241747$$

$$z=\frac{1-\sqrt{241}}{10}\approx -1,45241747$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-5z^{2}+z+12=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -5 вместо a, 1 вместо b и 12 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-5\right)\times 12}}{2\left(-5\right)}$$

Возведите 1 в квадрат.

$$z=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-5\right)\times 12}}{2\left(-5\right)}$$

Умножьте -4 на -5.

$$z=\frac{-1±\sqrt{1+20\times 12}}{2\left(-5\right)}$$

Умножьте 20 на 12.

$$z=\frac{-1±\sqrt{1+240}}{2\left(-5\right)}$$

Прибавьте 1 к 240.

$$z=\frac{-1±\sqrt{241}}{2\left(-5\right)}$$

Умножьте 2 на -5.

$$z=\frac{-1±\sqrt{241}}{-10}$$

Решите уравнение z=\frac{-1±\sqrt{241}}{-10} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -1 к \sqrt{241}.

$$z=\frac{\sqrt{241}-1}{-10}$$

Разделите -1+\sqrt{241} на -10.

$$z=\frac{1-\sqrt{241}}{10}$$

Решите уравнение z=\frac{-1±\sqrt{241}}{-10} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{241} из -1.

$$z=\frac{-\sqrt{241}-1}{-10}$$

Разделите -1-\sqrt{241} на -10.

$$z=\frac{\sqrt{241}+1}{10}$$

Уравнение решено.

$$z=\frac{1-\sqrt{241}}{10} z=\frac{\sqrt{241}+1}{10}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-5z^{2}+z+12=0$$

Вычтите 12 из обеих частей уравнения.

$$-5z^{2}+z+12-12=-12$$

Если из 12 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$-5z^{2}+z=-12$$

Разделите обе части на -5.

$$\frac{-5z^{2}+z}{-5}=-\frac{12}{-5}$$

Деление на -5 аннулирует операцию умножения на -5.

$$z^{2}+\frac{1}{-5}z=-\frac{12}{-5}$$

Разделите 1 на -5.

$$z^{2}-\frac{1}{5}z=-\frac{12}{-5}$$

Разделите -12 на -5.

$$z^{2}-\frac{1}{5}z=\frac{12}{5}$$

Деление -\frac{1}{5}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{1}{10}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{10} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$z^{2}-\frac{1}{5}z+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{12}{5}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{10} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$z^{2}-\frac{1}{5}z+\frac{1}{100}=\frac{12}{5}+\frac{1}{100}$$

Прибавьте \frac{12}{5} к \frac{1}{100}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$z^{2}-\frac{1}{5}z+\frac{1}{100}=\frac{241}{100}$$

Коэффициент z^{2}-\frac{1}{5}z+\frac{1}{100}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{241}{100}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{241}{100}}$$

Упростите.

$$z-\frac{1}{10}=\frac{\sqrt{241}}{10} z-\frac{1}{10}=-\frac{\sqrt{241}}{10}$$

Прибавьте \frac{1}{10} к обеим частям уравнения.

$$z=\frac{\sqrt{241}+1}{10} z=\frac{1-\sqrt{241}}{10}$$