Решить -3x^2-9x+84=0

$$- 3 x ^ { 2 } - 9 x + 84 = 0$$

Найдите x

$$x=-7$$

$$x=4$$

Способ разложения на множители путем группировки

Разделите обе части на 3.

$$-x^{2}-3x+28=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -x^{2}+ax+bx+28. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-3 ab=-28=-28$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -28.

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -3.

$$a=4 b=-7$$

Перепишите -x^{2}-3x+28 как \left(-x^{2}+4x\right)+\left(-7x+28\right).

$$\left(-x^{2}+4x\right)+\left(-7x+28\right)$$

Разложите x в первом и 7 в второй группе.

$$x\left(-x+4\right)+7\left(-x+4\right)$$

Вынесите за скобки общий член -x+4, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(-x+4\right)\left(x+7\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите -x+4=0 и x+7=0у.

$$x=4 x=-7$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-3x^{2}-9x+84=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -3 вместо a, -9 вместо b и 84 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 84}}{2\left(-3\right)}$$

Возведите -9 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\left(-3\right)\times 84}}{2\left(-3\right)}$$

Умножьте -4 на -3.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+12\times 84}}{2\left(-3\right)}$$

Умножьте 12 на 84.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+1008}}{2\left(-3\right)}$$

Прибавьте 81 к 1008.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{1089}}{2\left(-3\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 1089.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±33}{2\left(-3\right)}$$

Число, противоположное -9, равно 9.

$$x=\frac{9±33}{2\left(-3\right)}$$

Умножьте 2 на -3.

$$x=\frac{9±33}{-6}$$

Решите уравнение x=\frac{9±33}{-6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 9 к 33.

$$x=\frac{42}{-6}$$

Разделите 42 на -6.

$$x=-7$$

Решите уравнение x=\frac{9±33}{-6} при условии, что ± — минус. Вычтите 33 из 9.

$$x=-\frac{24}{-6}$$

Разделите -24 на -6.

$$x=4$$

Уравнение решено.

$$x=-7 x=4$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}-9x+84=0$$

Вычтите 84 из обеих частей уравнения.

$$-3x^{2}-9x+84-84=-84$$

Если из 84 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$-3x^{2}-9x=-84$$

Разделите обе части на -3.

$$\frac{-3x^{2}-9x}{-3}=-\frac{84}{-3}$$

Деление на -3 аннулирует операцию умножения на -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{-3}\right)x=-\frac{84}{-3}$$

Разделите -9 на -3.

$$x^{2}+3x=-\frac{84}{-3}$$

Разделите -84 на -3.

$$x^{2}+3x=28$$

Деление 3, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{3}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{3}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{3}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Прибавьте 28 к \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Коэффициент x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Упростите.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Вычтите \frac{3}{2} из обеих частей уравнения.

$$x=4 x=-7$$