Решить -25x^2+21x-5=0

$$- 25 x ^ { 2 } + 21 x - 5 = 0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{-\sqrt{59}i+21}{50}\approx 0,42-0,153622915i$$

$$x=\frac{21+\sqrt{59}i}{50}\approx 0,42+0,153622915i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-25x^{2}+21x-5=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -25 вместо a, 21 вместо b и -5 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\left(-25\right)\left(-5\right)}}{2\left(-25\right)}$$

Возведите 21 в квадрат.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-4\left(-25\right)\left(-5\right)}}{2\left(-25\right)}$$

Умножьте -4 на -25.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441+100\left(-5\right)}}{2\left(-25\right)}$$

Умножьте 100 на -5.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-500}}{2\left(-25\right)}$$

Прибавьте 441 к -500.

$$x=\frac{-21±\sqrt{-59}}{2\left(-25\right)}$$

Извлеките квадратный корень из -59.

$$x=\frac{-21±\sqrt{59}i}{2\left(-25\right)}$$

Умножьте 2 на -25.

$$x=\frac{-21±\sqrt{59}i}{-50}$$

Решите уравнение x=\frac{-21±\sqrt{59}i}{-50} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -21 к i\sqrt{59}.

$$x=\frac{-21+\sqrt{59}i}{-50}$$

Разделите -21+i\sqrt{59} на -50.

$$x=\frac{-\sqrt{59}i+21}{50}$$

Решите уравнение x=\frac{-21±\sqrt{59}i}{-50} при условии, что ± — минус. Вычтите i\sqrt{59} из -21.

$$x=\frac{-\sqrt{59}i-21}{-50}$$

Разделите -21-i\sqrt{59} на -50.

$$x=\frac{21+\sqrt{59}i}{50}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{-\sqrt{59}i+21}{50} x=\frac{21+\sqrt{59}i}{50}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-25x^{2}+21x-5=0$$

Прибавьте 5 к обеим частям уравнения.

$$-25x^{2}+21x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Если из -5 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$-25x^{2}+21x=-\left(-5\right)$$

Вычтите -5 из 0.

$$-25x^{2}+21x=5$$

Разделите обе части на -25.

$$\frac{-25x^{2}+21x}{-25}=\frac{5}{-25}$$

Деление на -25 аннулирует операцию умножения на -25.

$$x^{2}+\frac{21}{-25}x=\frac{5}{-25}$$

Разделите 21 на -25.

$$x^{2}-\frac{21}{25}x=\frac{5}{-25}$$

Привести дробь \frac{5}{-25} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 5.

$$x^{2}-\frac{21}{25}x=-\frac{1}{5}$$

Деление -\frac{21}{25}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{21}{50}. Затем добавьте квадрат -\frac{21}{50} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{21}{25}x+\left(-\frac{21}{50}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(-\frac{21}{50}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{21}{50} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{21}{25}x+\frac{441}{2500}=-\frac{1}{5}+\frac{441}{2500}$$

Прибавьте -\frac{1}{5} к \frac{441}{2500}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{21}{25}x+\frac{441}{2500}=-\frac{59}{2500}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{21}{25}x+\frac{441}{2500}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{21}{50}\right)^{2}=-\frac{59}{2500}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{21}{50}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{59}{2500}}$$

Упростите.

$$x-\frac{21}{50}=\frac{\sqrt{59}i}{50} x-\frac{21}{50}=-\frac{\sqrt{59}i}{50}$$

Прибавьте \frac{21}{50} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{21+\sqrt{59}i}{50} x=\frac{-\sqrt{59}i+21}{50}$$