Решить (x-4)^2=225

$$( x - 4 ) ^ { 2 } = 225$$

Найдите x

$$x=19$$

$$x=-11$$

Способ разложения на множители

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(x-4\right)^{2}.

$$x^{2}-8x+16=225$$

Вычтите 225 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}-8x+16-225=0$$

Вычтите 225 из 16, чтобы получить -209.

$$x^{2}-8x-209=0$$

Чтобы решить уравнение, фактор x^{2}-8x-209 с помощью формулы x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-8 ab=-209$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -209.

$$1,-209 11,-19$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-209=-208 11-19=-8$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -8.

$$a=-19 b=11$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x-19\right)\left(x+11\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-19=0 и x+11=0у.

$$x=19 x=-11$$

Способ разложения на множители путем группировки

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(x-4\right)^{2}.

$$x^{2}-8x+16=225$$

Вычтите 225 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}-8x+16-225=0$$

Вычтите 225 из 16, чтобы получить -209.

$$x^{2}-8x-209=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-209. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-8 ab=1\left(-209\right)=-209$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -209.

$$1,-209 11,-19$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-209=-208 11-19=-8$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -8.

$$a=-19 b=11$$

Перепишите x^{2}-8x-209 как \left(x^{2}-19x\right)+\left(11x-209\right).

$$\left(x^{2}-19x\right)+\left(11x-209\right)$$

Разложите x в первом и 11 в второй группе.

$$x\left(x-19\right)+11\left(x-19\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-19, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-19\right)\left(x+11\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-19=0 и x+11=0у.

$$x=19 x=-11$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(x-4\right)^{2}.

$$x^{2}-8x+16=225$$

Вычтите 225 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}-8x+16-225=0$$

Вычтите 225 из 16, чтобы получить -209.

$$x^{2}-8x-209=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -8 вместо b и -209 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\left(-209\right)}}{2}$$

Возведите -8 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\left(-209\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -209.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+836}}{2}$$

Прибавьте 64 к 836.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{900}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 900.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±30}{2}$$

Число, противоположное -8, равно 8.

$$x=\frac{8±30}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{8±30}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 8 к 30.

$$x=\frac{38}{2}$$

Разделите 38 на 2.

$$x=19$$

Решите уравнение x=\frac{8±30}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 30 из 8.

$$x=-\frac{22}{2}$$

Разделите -22 на 2.

$$x=-11$$

Уравнение решено.

$$x=19 x=-11$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{225}$$

Упростите.

$$x-4=15 x-4=-15$$

Прибавьте 4 к обеим частям уравнения.

$$x=19 x=-11$$