Решить (x+3)^2+(3x-8)(3x+8)+1=3[x(x+3)+6]

$$( x + 3 ) ^ { 2 } + ( 3 x - 8 ) ( 3 x + 8 ) + 1 = 3 [ x ( x + 3 ) + 6 ]$$

Найдите x

$$x=-3$$

$$x = \frac{24}{7} = 3\frac{3}{7} \approx 3,428571429$$

Способ разложения на множители путем группировки

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Учтите \left(3x-8\right)\left(3x+8\right). Умножение можно преобразовать в разность квадратов с помощью следующего правила: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Возведите 8 в квадрат.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Разложите \left(3x\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Вычислите 3 в степени 2 и получите 9.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Объедините x^{2} и 9x^{2}, чтобы получить 10x^{2}.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Вычтите 64 из 9, чтобы получить -55.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Чтобы вычислить -54, сложите -55 и 1.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Чтобы умножить x на x+3, используйте свойство дистрибутивности.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

Чтобы умножить 3 на x^{2}+3x+6, используйте свойство дистрибутивности.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Вычтите 3x^{2} из обеих частей уравнения.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

Объедините 10x^{2} и -3x^{2}, чтобы получить 7x^{2}.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Вычтите 9x из обеих частей уравнения.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

Объедините 6x и -9x, чтобы получить -3x.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Вычтите 18 из обеих частей уравнения.

$$7x^{2}-3x-54-18=0$$

Вычтите 18 из -54, чтобы получить -72.

$$7x^{2}-3x-72=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 7x^{2}+ax+bx-72. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-3 ab=7\left(-72\right)=-504$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -504.

$$1,-504 2,-252 3,-168 4,-126 6,-84 7,-72 8,-63 9,-56 12,-42 14,-36 18,-28 21,-24$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-504=-503 2-252=-250 3-168=-165 4-126=-122 6-84=-78 7-72=-65 8-63=-55 9-56=-47 12-42=-30 14-36=-22 18-28=-10 21-24=-3$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -3.

$$a=-24 b=21$$

Перепишите 7x^{2}-3x-72 как \left(7x^{2}-24x\right)+\left(21x-72\right).

$$\left(7x^{2}-24x\right)+\left(21x-72\right)$$

Разложите x в первом и 3 в второй группе.

$$x\left(7x-24\right)+3\left(7x-24\right)$$

Вынесите за скобки общий член 7x-24, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(7x-24\right)\left(x+3\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 7x-24=0 и x+3=0у.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Учтите \left(3x-8\right)\left(3x+8\right). Умножение можно преобразовать в разность квадратов с помощью следующего правила: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Возведите 8 в квадрат.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Разложите \left(3x\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Вычислите 3 в степени 2 и получите 9.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Объедините x^{2} и 9x^{2}, чтобы получить 10x^{2}.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Вычтите 64 из 9, чтобы получить -55.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Чтобы вычислить -54, сложите -55 и 1.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Чтобы умножить x на x+3, используйте свойство дистрибутивности.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

Чтобы умножить 3 на x^{2}+3x+6, используйте свойство дистрибутивности.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Вычтите 3x^{2} из обеих частей уравнения.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

Объедините 10x^{2} и -3x^{2}, чтобы получить 7x^{2}.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Вычтите 9x из обеих частей уравнения.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

Объедините 6x и -9x, чтобы получить -3x.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Вычтите 18 из обеих частей уравнения.

$$7x^{2}-3x-54-18=0$$

Вычтите 18 из -54, чтобы получить -72.

$$7x^{2}-3x-72=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 7 вместо a, -3 вместо b и -72 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 7\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

Возведите -3 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 7\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

Умножьте -4 на 7.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-28\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

Умножьте -28 на -72.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+2016}}{2\times 7}$$

Прибавьте 9 к 2016.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{2025}}{2\times 7}$$

Извлеките квадратный корень из 2025.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±45}{2\times 7}$$

Число, противоположное -3, равно 3.

$$x=\frac{3±45}{2\times 7}$$

Умножьте 2 на 7.

$$x=\frac{3±45}{14}$$

Решите уравнение x=\frac{3±45}{14} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 3 к 45.

$$x=\frac{48}{14}$$

Привести дробь \frac{48}{14} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=\frac{24}{7}$$

Решите уравнение x=\frac{3±45}{14} при условии, что ± — минус. Вычтите 45 из 3.

$$x=-\frac{42}{14}$$

Разделите -42 на 14.

$$x=-3$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Учтите \left(3x-8\right)\left(3x+8\right). Умножение можно преобразовать в разность квадратов с помощью следующего правила: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Возведите 8 в квадрат.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Разложите \left(3x\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Вычислите 3 в степени 2 и получите 9.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Объедините x^{2} и 9x^{2}, чтобы получить 10x^{2}.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Вычтите 64 из 9, чтобы получить -55.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Чтобы вычислить -54, сложите -55 и 1.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Чтобы умножить x на x+3, используйте свойство дистрибутивности.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

Чтобы умножить 3 на x^{2}+3x+6, используйте свойство дистрибутивности.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Вычтите 3x^{2} из обеих частей уравнения.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

Объедините 10x^{2} и -3x^{2}, чтобы получить 7x^{2}.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Вычтите 9x из обеих частей уравнения.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

Объедините 6x и -9x, чтобы получить -3x.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Прибавьте 54 к обеим частям.

$$7x^{2}-3x=18+54$$

Чтобы вычислить 72, сложите 18 и 54.

$$7x^{2}-3x=72$$

Разделите обе части на 7.

$$\frac{7x^{2}-3x}{7}=\frac{72}{7}$$

Деление на 7 аннулирует операцию умножения на 7.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x=\frac{72}{7}$$

Деление -\frac{3}{7}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{3}{14}. Затем добавьте квадрат -\frac{3}{14} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{72}{7}+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{3}{14} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{72}{7}+\frac{9}{196}$$

Прибавьте \frac{72}{7} к \frac{9}{196}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{2025}{196}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{2025}{196}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{196}}$$

Упростите.

$$x-\frac{3}{14}=\frac{45}{14} x-\frac{3}{14}=-\frac{45}{14}$$

Прибавьте \frac{3}{14} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$