Решить (5x-2)^2-(2x-1)(2x+1)=47+x

$$( 5 x - 2 ) ^ { 2 } - ( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 ) = 47 + x$$

Найдите x

$$x=-1$$

$$x=2$$

Способ разложения на множители путем группировки

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Учтите \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). Умножение можно преобразовать в разность квадратов с помощью следующего правила: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Возведите 1 в квадрат.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Разложите \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Вычислите 2 в степени 2 и получите 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Чтобы найти противоположное значение выражения 4x^{2}-1, необходимо найти противоположное значение для каждого члена.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Объедините 25x^{2} и -4x^{2}, чтобы получить 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Чтобы вычислить 5, сложите 4 и 1.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Вычтите 47 из обеих частей уравнения.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

Вычтите 47 из 5, чтобы получить -42.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

Вычтите x из обеих частей уравнения.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

Объедините -20x и -x, чтобы получить -21x.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

Разделите обе части на 21.

$$x^{2}-x-2=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-2. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Единственная такая пара является решением системы.

$$a=-2 b=1$$

Перепишите x^{2}-x-2 как \left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right)$$

Вынесите за скобки x в x^{2}-2x.

$$x\left(x-2\right)+x-2$$

Вынесите за скобки общий член x-2, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-2=0 и x+1=0у.

$$x=2 x=-1$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Учтите \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). Умножение можно преобразовать в разность квадратов с помощью следующего правила: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Возведите 1 в квадрат.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Разложите \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Вычислите 2 в степени 2 и получите 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Чтобы найти противоположное значение выражения 4x^{2}-1, необходимо найти противоположное значение для каждого члена.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Объедините 25x^{2} и -4x^{2}, чтобы получить 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Чтобы вычислить 5, сложите 4 и 1.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Вычтите 47 из обеих частей уравнения.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

Вычтите 47 из 5, чтобы получить -42.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

Вычтите x из обеих частей уравнения.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

Объедините -20x и -x, чтобы получить -21x.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 21 вместо a, -21 вместо b и -42 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Возведите -21 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Умножьте -4 на 21.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-84\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Умножьте -84 на -42.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441+3528}}{2\times 21}$$

Прибавьте 441 к 3528.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{3969}}{2\times 21}$$

Извлеките квадратный корень из 3969.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±63}{2\times 21}$$

Число, противоположное -21, равно 21.

$$x=\frac{21±63}{2\times 21}$$

Умножьте 2 на 21.

$$x=\frac{21±63}{42}$$

Решите уравнение x=\frac{21±63}{42} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 21 к 63.

$$x=\frac{84}{42}$$

Разделите 84 на 42.

$$x=2$$

Решите уравнение x=\frac{21±63}{42} при условии, что ± — минус. Вычтите 63 из 21.

$$x=-\frac{42}{42}$$

Разделите -42 на 42.

$$x=-1$$

Уравнение решено.

$$x=2 x=-1$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Учтите \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). Умножение можно преобразовать в разность квадратов с помощью следующего правила: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Возведите 1 в квадрат.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Разложите \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Вычислите 2 в степени 2 и получите 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Чтобы найти противоположное значение выражения 4x^{2}-1, необходимо найти противоположное значение для каждого члена.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Объедините 25x^{2} и -4x^{2}, чтобы получить 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Чтобы вычислить 5, сложите 4 и 1.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Вычтите x из обеих частей уравнения.

$$21x^{2}-20x+5-x=47$$

Объедините -20x и -x, чтобы получить -21x.

$$21x^{2}-21x+5=47$$

Вычтите 5 из обеих частей уравнения.

$$21x^{2}-21x=47-5$$

Вычтите 5 из 47, чтобы получить 42.

$$21x^{2}-21x=42$$

Разделите обе части на 21.

$$\frac{21x^{2}-21x}{21}=\frac{42}{21}$$

Деление на 21 аннулирует операцию умножения на 21.

$$x^{2}+\left(-\frac{21}{21}\right)x=\frac{42}{21}$$

Разделите -21 на 21.

$$x^{2}-x=\frac{42}{21}$$

Разделите 42 на 21.

$$x^{2}-x=2$$

Деление -1, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{1}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Прибавьте 2 к \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Коэффициент x^{2}-x+\frac{1}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Прибавьте \frac{1}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=2 x=-1$$