Решить (3x+1)^2-5(x+1)(x-1)=8-x

$$( 3 x + 1 ) ^ { 2 } - 5 ( x + 1 ) ( x - 1 ) = 8 - x$$

Найдите x

$$x=-2$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Способ разложения на множители путем группировки

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(3x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)=8-x$$

Вычтите 8 из обеих частей уравнения.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)-8=-x$$

Прибавьте x к обеим частям.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)-8+x=0$$

Чтобы умножить -5 на x+1, используйте свойство дистрибутивности.

$$9x^{2}+6x+1+\left(-5x-5\right)\left(x-1\right)-8+x=0$$

Чтобы умножить -5x-5 на x-1, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$9x^{2}+6x+1-5x^{2}+5-8+x=0$$

Объедините 9x^{2} и -5x^{2}, чтобы получить 4x^{2}.

$$4x^{2}+6x+1+5-8+x=0$$

Чтобы вычислить 6, сложите 1 и 5.

$$4x^{2}+6x+6-8+x=0$$

Вычтите 8 из 6, чтобы получить -2.

$$4x^{2}+6x-2+x=0$$

Объедините 6x и x, чтобы получить 7x.

$$4x^{2}+7x-2=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 4x^{2}+ax+bx-2. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=7 ab=4\left(-2\right)=-8$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -8.

$$-1,8 -2,4$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 7.

$$a=-1 b=8$$

Перепишите 4x^{2}+7x-2 как \left(4x^{2}-x\right)+\left(8x-2\right).

$$\left(4x^{2}-x\right)+\left(8x-2\right)$$

Разложите x в первом и 2 в второй группе.

$$x\left(4x-1\right)+2\left(4x-1\right)$$

Вынесите за скобки общий член 4x-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(4x-1\right)\left(x+2\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 4x-1=0 и x+2=0у.

$$x=\frac{1}{4} x=-2$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(3x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)=8-x$$

Вычтите 8 из обеих частей уравнения.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)-8=-x$$

Прибавьте x к обеим частям.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)-8+x=0$$

Чтобы умножить -5 на x+1, используйте свойство дистрибутивности.

$$9x^{2}+6x+1+\left(-5x-5\right)\left(x-1\right)-8+x=0$$

Чтобы умножить -5x-5 на x-1, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$9x^{2}+6x+1-5x^{2}+5-8+x=0$$

Объедините 9x^{2} и -5x^{2}, чтобы получить 4x^{2}.

$$4x^{2}+6x+1+5-8+x=0$$

Чтобы вычислить 6, сложите 1 и 5.

$$4x^{2}+6x+6-8+x=0$$

Вычтите 8 из 6, чтобы получить -2.

$$4x^{2}+6x-2+x=0$$

Объедините 6x и x, чтобы получить 7x.

$$4x^{2}+7x-2=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, 7 вместо b и -2 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Возведите 7 в квадрат.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-16\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на -2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+32}}{2\times 4}$$

Прибавьте 49 к 32.

$$x=\frac{-7±\sqrt{81}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из 81.

$$x=\frac{-7±9}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$x=\frac{-7±9}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{-7±9}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -7 к 9.

$$x=\frac{2}{8}$$

Привести дробь \frac{2}{8} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=\frac{1}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-7±9}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите 9 из -7.

$$x=-\frac{16}{8}$$

Разделите -16 на 8.

$$x=-2$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{1}{4} x=-2$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(3x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)=8-x$$

Прибавьте x к обеим частям.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)+x=8$$

Чтобы умножить -5 на x+1, используйте свойство дистрибутивности.

$$9x^{2}+6x+1+\left(-5x-5\right)\left(x-1\right)+x=8$$

Чтобы умножить -5x-5 на x-1, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$9x^{2}+6x+1-5x^{2}+5+x=8$$

Объедините 9x^{2} и -5x^{2}, чтобы получить 4x^{2}.

$$4x^{2}+6x+1+5+x=8$$

Чтобы вычислить 6, сложите 1 и 5.

$$4x^{2}+6x+6+x=8$$

Объедините 6x и x, чтобы получить 7x.

$$4x^{2}+7x+6=8$$

Вычтите 6 из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}+7x=8-6$$

Вычтите 6 из 8, чтобы получить 2.

$$4x^{2}+7x=2$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4x^{2}+7x}{4}=\frac{2}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x=\frac{2}{4}$$

Привести дробь \frac{2}{4} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x=\frac{1}{2}$$

Деление \frac{7}{4}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{7}{8}. Затем добавьте квадрат \frac{7}{8} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Возведите \frac{7}{8} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{2}+\frac{49}{64}$$

Прибавьте \frac{1}{2} к \frac{49}{64}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{81}{64}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

Упростите.

$$x+\frac{7}{8}=\frac{9}{8} x+\frac{7}{8}=-\frac{9}{8}$$

Вычтите \frac{7}{8} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{1}{4} x=-2$$