Решить (3+2y)^2+2y^2=3

$$( 3 + 2 y ) ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } = 3$$

Найдите y

$$y=-1$$

Способ разложения на множители путем группировки

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(3+2y\right)^{2}.

$$9+12y+4y^{2}+2y^{2}=3$$

Объедините 4y^{2} и 2y^{2}, чтобы получить 6y^{2}.

$$9+12y+6y^{2}=3$$

Вычтите 3 из обеих частей уравнения.

$$9+12y+6y^{2}-3=0$$

Вычтите 3 из 9, чтобы получить 6.

$$6+12y+6y^{2}=0$$

Разделите обе части на 6.

$$1+2y+y^{2}=0$$

Приведите многочлен к стандартному виду. Разместите члены, начиная с члена с наибольшей степенью и заканчивая членом с наименьшей степенью.

$$y^{2}+2y+1=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: y^{2}+ay+by+1. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=2 ab=1\times 1=1$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Единственная такая пара является решением системы.

$$a=1 b=1$$

Перепишите y^{2}+2y+1 как \left(y^{2}+y\right)+\left(y+1\right).

$$\left(y^{2}+y\right)+\left(y+1\right)$$

Вынесите за скобки y в y^{2}+y.

$$y\left(y+1\right)+y+1$$

Вынесите за скобки общий член y+1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(y+1\right)\left(y+1\right)$$

Перепишите в виде квадрата двучлена.

$$\left(y+1\right)^{2}$$

Чтобы найти решение уравнения, решите следующее: y+1=0.

$$y=-1$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(3+2y\right)^{2}.

$$9+12y+4y^{2}+2y^{2}=3$$

Объедините 4y^{2} и 2y^{2}, чтобы получить 6y^{2}.

$$9+12y+6y^{2}=3$$

Вычтите 3 из обеих частей уравнения.

$$9+12y+6y^{2}-3=0$$

Вычтите 3 из 9, чтобы получить 6.

$$6+12y+6y^{2}=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$6y^{2}+12y+6=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 6 вместо a, 12 вместо b и 6 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 6\times 6}}{2\times 6}$$

Возведите 12 в квадрат.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 6\times 6}}{2\times 6}$$

Умножьте -4 на 6.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-24\times 6}}{2\times 6}$$

Умножьте -24 на 6.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-144}}{2\times 6}$$

Прибавьте 144 к -144.

$$y=\frac{-12±\sqrt{0}}{2\times 6}$$

Извлеките квадратный корень из 0.

$$y=-\frac{12}{2\times 6}$$

Умножьте 2 на 6.

$$y=-\frac{12}{12}$$

Разделите -12 на 12.

$$y=-1$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(3+2y\right)^{2}.

$$9+12y+4y^{2}+2y^{2}=3$$

Объедините 4y^{2} и 2y^{2}, чтобы получить 6y^{2}.

$$9+12y+6y^{2}=3$$

Вычтите 9 из обеих частей уравнения.

$$12y+6y^{2}=3-9$$

Вычтите 9 из 3, чтобы получить -6.

$$12y+6y^{2}=-6$$

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$6y^{2}+12y=-6$$

Разделите обе части на 6.

$$\frac{6y^{2}+12y}{6}=-\frac{6}{6}$$

Деление на 6 аннулирует операцию умножения на 6.

$$y^{2}+\frac{12}{6}y=-\frac{6}{6}$$

Разделите 12 на 6.

$$y^{2}+2y=-\frac{6}{6}$$

Разделите -6 на 6.

$$y^{2}+2y=-1$$

Деление 2, коэффициент x термина, 2 для получения 1. Затем добавьте квадрат 1 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$y^{2}+2y+1^{2}=-1+1^{2}$$

Возведите 1 в квадрат.

$$y^{2}+2y+1=-1+1$$

Прибавьте -1 к 1.

$$y^{2}+2y+1=0$$

Коэффициент y^{2}+2y+1. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+1\right)^{2}=0$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(y+1\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Упростите.

$$y+1=0 y+1=0$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$y=-1 y=-1$$

Уравнение решено. Решения совпадают.

$$y=-1$$