Решить (2x+1)^2=(x-5)^2

$$( 2 x + 1 ) ^ { 2 } = ( x - 5 ) ^ { 2 }$$

Найдите x

$$x=-6$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Способ разложения на множители путем группировки

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

Вычтите x^{2} из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

Объедините 4x^{2} и -x^{2}, чтобы получить 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

Прибавьте 10x к обеим частям.

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

Объедините 4x и 10x, чтобы получить 14x.

$$3x^{2}+14x+1=25$$

Вычтите 25 из обеих частей уравнения.

$$3x^{2}+14x+1-25=0$$

Вычтите 25 из 1, чтобы получить -24.

$$3x^{2}+14x-24=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 3x^{2}+ax+bx-24. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=14 ab=3\left(-24\right)=-72$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 14.

$$a=-4 b=18$$

Перепишите 3x^{2}+14x-24 как \left(3x^{2}-4x\right)+\left(18x-24\right).

$$\left(3x^{2}-4x\right)+\left(18x-24\right)$$

Разложите x в первом и 6 в второй группе.

$$x\left(3x-4\right)+6\left(3x-4\right)$$

Вынесите за скобки общий член 3x-4, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(3x-4\right)\left(x+6\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 3x-4=0 и x+6=0у.

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

Вычтите x^{2} из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

Объедините 4x^{2} и -x^{2}, чтобы получить 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

Прибавьте 10x к обеим частям.

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

Объедините 4x и 10x, чтобы получить 14x.

$$3x^{2}+14x+1=25$$

Вычтите 25 из обеих частей уравнения.

$$3x^{2}+14x+1-25=0$$

Вычтите 25 из 1, чтобы получить -24.

$$3x^{2}+14x-24=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, 14 вместо b и -24 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 3\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Возведите 14 в квадрат.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 3\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-12\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на -24.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+288}}{2\times 3}$$

Прибавьте 196 к 288.

$$x=\frac{-14±\sqrt{484}}{2\times 3}$$

Извлеките квадратный корень из 484.

$$x=\frac{-14±22}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$x=\frac{-14±22}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{-14±22}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -14 к 22.

$$x=\frac{8}{6}$$

Привести дробь \frac{8}{6} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=\frac{4}{3}$$

Решите уравнение x=\frac{-14±22}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите 22 из -14.

$$x=-\frac{36}{6}$$

Разделите -36 на 6.

$$x=-6$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

Вычтите x^{2} из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

Объедините 4x^{2} и -x^{2}, чтобы получить 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

Прибавьте 10x к обеим частям.

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

Объедините 4x и 10x, чтобы получить 14x.

$$3x^{2}+14x+1=25$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$3x^{2}+14x=25-1$$

Вычтите 1 из 25, чтобы получить 24.

$$3x^{2}+14x=24$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3x^{2}+14x}{3}=\frac{24}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=\frac{24}{3}$$

Разделите 24 на 3.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=8$$

Деление \frac{14}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{7}{3}. Затем добавьте квадрат \frac{7}{3} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}=8+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}$$

Возведите \frac{7}{3} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=8+\frac{49}{9}$$

Прибавьте 8 к \frac{49}{9}.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=\frac{121}{9}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{121}{9}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{9}}$$

Упростите.

$$x+\frac{7}{3}=\frac{11}{3} x+\frac{7}{3}=-\frac{11}{3}$$

Вычтите \frac{7}{3} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$