Решить (2k-3)^2-4(3-2k)<0

$$( 2 k - 3 ) ^ { 2 } - 4 ( 3 - 2 k ) < 0$$

Решение для k

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(2k-3\right)^{2}.

$$4k^{2}-12k+9-4\left(3-2k\right)<0$$

Чтобы умножить -4 на 3-2k, используйте свойство дистрибутивности.

$$4k^{2}-12k+9-12+8k<0$$

Вычтите 12 из 9, чтобы получить -3.

$$4k^{2}-12k-3+8k<0$$

Объедините -12k и 8k, чтобы получить -4k.

$$4k^{2}-4k-3<0$$

Чтобы решить неравенство, разложите левую часть на множители. Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$4k^{2}-4k-3=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 4, b на -4 и c на -3.

$$k=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Выполните арифметические операции.

$$k=\frac{4±8}{8}$$

Решение k=\frac{4±8}{8} уравнений, когда ±-плюс и когда ± — минус.

$$k=\frac{3}{2} k=-\frac{1}{2}$$

Перепишите неравенство, используя полученные решения.

$$4\left(k-\frac{3}{2}\right)\left(k+\frac{1}{2}\right)<0$$

Чтобы произведение было отрицательным, k-\frac{3}{2} и k+\frac{1}{2} должны иметь противоположные знаки. Рассмотрите, когда k-\frac{3}{2} положительное и k+\frac{1}{2} отрицательно.

$$k-\frac{3}{2}>0 k+\frac{1}{2}<0$$

Это неверно для любого k.

$$k\in \emptyset$$

Рассмотрите, когда k+\frac{1}{2} положительное и k-\frac{3}{2} отрицательно.

$$k+\frac{1}{2}>0 k-\frac{3}{2}<0$$

Решение, которое удовлетворяет обоим неравенствам: k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right).

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$

Окончательное решение — это объединение полученных решений.

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$