Решить x^2+1/x^2=5

$${ x }^{ 2 } + \frac{ 1 }{ { x }^{ 2 } } =5$$

Найдите x

$$x=\frac{-\sqrt{3}-\sqrt{7}}{2}\approx -2,188901059$$

$$x = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{7}}{2} \approx 2,188901059$$

$$x=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}\approx 0,456850252$$

$$x=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{7}}{2}\approx -0,456850252$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Переменная x не может равняться 0, так как деление на ноль не определено. Умножьте обе части уравнения на x^{2}.

$$x^{2}x^{2}+1=5x^{2}$$

Чтобы перемножить степени с одинаковым основанием, сложите их показатели. Сложите 2 и 2, чтобы получить 4.

$$x^{4}+1=5x^{2}$$

Вычтите 5x^{2} из обеих частей уравнения.

$$x^{4}+1-5x^{2}=0$$

Замените t на x^{2}.

$$t^{2}-5t+1=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 1, b на -5 и c на 1.

$$t=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Выполните арифметические операции.

$$t=\frac{5±\sqrt{21}}{2}$$

Решение t=\frac{5±\sqrt{21}}{2} уравнений, когда ±-плюс и когда ± — минус.

$$t=\frac{\sqrt{21}+5}{2} t=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$$

Так как x=t^{2}, получены решения по оценке x=±\sqrt{t} для каждого t.

$$x=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{7}}{2} x=-\frac{\sqrt{3}+\sqrt{7}}{2} x=-\frac{\sqrt{3}-\sqrt{7}}{2} x=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{7}}{2}$$