Решить sqrt{2x+3x^2}=2x^2

$$\sqrt{ 2x+3 { x }^{ 2 } } =2 { x }^{ 2 }$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt[3]{\sqrt{3} + 2} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{3}}}{2} \approx 1,097911673$$

$$x=0$$

Действия по решению

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(\sqrt{2x+3x^{2}}\right)^{2}=\left(2x^{2}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{2x+3x^{2}} в степени 2 и получите 2x+3x^{2}.

$$2x+3x^{2}=\left(2x^{2}\right)^{2}$$

Разложите \left(2x^{2}\right)^{2}.

$$2x+3x^{2}=2^{2}\left(x^{2}\right)^{2}$$

Чтобы возвести степень в другую степень, перемножьте показатели. Перемножьте 2 и 2, чтобы получить 4.

$$2x+3x^{2}=2^{2}x^{4}$$

Вычислите 2 в степени 2 и получите 4.

$$2x+3x^{2}=4x^{4}$$

Вычтите 4x^{4} из обеих частей уравнения.

$$2x+3x^{2}-4x^{4}=0$$

Замените t на x^{2}.

$$-4t^{2}+3t+2=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на -4, b на 3 и c на 2.

$$t=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-4\right)\times 2}}{-4\times 2}$$

Выполните арифметические операции.

$$t=\frac{-3±\sqrt{41}}{-8}$$

Решение t=\frac{-3±\sqrt{41}}{-8} уравнений, когда ±-плюс и когда ± — минус.

$$t=\frac{3-\sqrt{41}}{8} t=\frac{\sqrt{41}+3}{8}$$

Так как x=t^{2}, получаемые решения см. при проверке x=±\sqrt{t} для положительных t.

$$x=\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2} x=-\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2}$$

Подставьте \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2} вместо x в уравнении \sqrt{2x+3x^{2}}=2x^{2}.

$$\sqrt{2\times \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2}+3\times \left(\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2}\right)^{2}}=2\times \left(\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2}\right)^{2}$$

Упростите. Значение x=\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2} не соответствует уравнению.

$$\frac{1}{2}\left(2\times 2^{\frac{1}{2}}\left(41^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}+\frac{3}{2}\times 41^{\frac{1}{2}}+\frac{9}{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}\times 41^{\frac{1}{2}}+\frac{3}{4}$$

Подставьте -\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2} вместо x в уравнении \sqrt{2x+3x^{2}}=2x^{2}.

$$\sqrt{2\left(-\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2}\right)+3\left(-\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2}\right)^{2}}=2\left(-\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2}\right)^{2}$$

Упростите. Значение x=-\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2} не соответствует уравнению.

$$\frac{1}{2}\left(-2\times 2^{\frac{1}{2}}\left(41^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}+\frac{3}{2}\times 41^{\frac{1}{2}}+\frac{9}{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}\times 41^{\frac{1}{2}}+\frac{3}{4}$$

Уравнение \sqrt{3x^{2}+2x}=2x^{2} не имеет решений.

$$x\in \emptyset$$