Решить sqrt{x}+2x=2

$$\sqrt { x } + 2 x = 2$$

Найдите x

$$x=\frac{9-\sqrt{17}}{8}\approx 0,609611797$$

Действия по решению

Вычтите 2x из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{x}=2-2x$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(2-2x\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{x} в степени 2 и получите x.

$$x=\left(2-2x\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(2-2x\right)^{2}.

$$x=4-8x+4x^{2}$$

Вычтите 4 из обеих частей уравнения.

$$x-4=-8x+4x^{2}$$

Прибавьте 8x к обеим частям.

$$x-4+8x=4x^{2}$$

Объедините x и 8x, чтобы получить 9x.

$$9x-4=4x^{2}$$

Вычтите 4x^{2} из обеих частей уравнения.

$$9x-4-4x^{2}=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-4x^{2}+9x-4=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -4 вместо a, 9 вместо b и -4 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Возведите 9 в квадрат.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Умножьте -4 на -4.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+16\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Умножьте 16 на -4.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-64}}{2\left(-4\right)}$$

Прибавьте 81 к -64.

$$x=\frac{-9±\sqrt{17}}{2\left(-4\right)}$$

Умножьте 2 на -4.

$$x=\frac{-9±\sqrt{17}}{-8}$$

Решите уравнение x=\frac{-9±\sqrt{17}}{-8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -9 к \sqrt{17}.

$$x=\frac{\sqrt{17}-9}{-8}$$

Разделите -9+\sqrt{17} на -8.

$$x=\frac{9-\sqrt{17}}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{-9±\sqrt{17}}{-8} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{17} из -9.

$$x=\frac{-\sqrt{17}-9}{-8}$$

Разделите -9-\sqrt{17} на -8.

$$x=\frac{\sqrt{17}+9}{8}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{9-\sqrt{17}}{8} x=\frac{\sqrt{17}+9}{8}$$

Подставьте \frac{9-\sqrt{17}}{8} вместо x в уравнении \sqrt{x}+2x=2.

$$\sqrt{\frac{9-\sqrt{17}}{8}}+2\times \frac{9-\sqrt{17}}{8}=2$$

Упростите. Значение x=\frac{9-\sqrt{17}}{8} удовлетворяет уравнению.

$$2=2$$

Подставьте \frac{\sqrt{17}+9}{8} вместо x в уравнении \sqrt{x}+2x=2.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{17}+9}{8}}+2\times \frac{\sqrt{17}+9}{8}=2$$

Упростите. Значение x=\frac{\sqrt{17}+9}{8} не соответствует уравнению.

$$\frac{5}{2}+\frac{1}{2}\times 17^{\frac{1}{2}}=2$$

Уравнение \sqrt{x}=2-2x имеет уникальное решение.

$$x=\frac{9-\sqrt{17}}{8}$$