Решить sqrt{3x^2-5x+6}=2(x+2)

$$\sqrt { 3 x ^ { 2 } - 5 x + 6 } = 2 ( x + 2 )$$

Найдите x

$$x=\frac{\sqrt{401}-21}{2}\approx -0,487507803$$

Действия по решению

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(\sqrt{3x^{2}-5x+6}\right)^{2}=\left(2\left(x+2\right)\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{3x^{2}-5x+6} в степени 2 и получите 3x^{2}-5x+6.

$$3x^{2}-5x+6=\left(2\left(x+2\right)\right)^{2}$$

Чтобы умножить 2 на x+2, используйте свойство дистрибутивности.

$$3x^{2}-5x+6=\left(2x+4\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(2x+4\right)^{2}.

$$3x^{2}-5x+6=4x^{2}+16x+16$$

Вычтите 4x^{2} из обеих частей уравнения.

$$3x^{2}-5x+6-4x^{2}=16x+16$$

Объедините 3x^{2} и -4x^{2}, чтобы получить -x^{2}.

$$-x^{2}-5x+6=16x+16$$

Вычтите 16x из обеих частей уравнения.

$$-x^{2}-5x+6-16x=16$$

Объедините -5x и -16x, чтобы получить -21x.

$$-x^{2}-21x+6=16$$

Вычтите 16 из обеих частей уравнения.

$$-x^{2}-21x+6-16=0$$

Вычтите 16 из 6, чтобы получить -10.

$$-x^{2}-21x-10=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -1 вместо a, -21 вместо b и -10 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-10\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Возведите -21 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\left(-1\right)\left(-10\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте -4 на -1.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441+4\left(-10\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 4 на -10.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-40}}{2\left(-1\right)}$$

Прибавьте 441 к -40.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{401}}{2\left(-1\right)}$$

Число, противоположное -21, равно 21.

$$x=\frac{21±\sqrt{401}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 2 на -1.

$$x=\frac{21±\sqrt{401}}{-2}$$

Решите уравнение x=\frac{21±\sqrt{401}}{-2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 21 к \sqrt{401}.

$$x=\frac{\sqrt{401}+21}{-2}$$

Разделите 21+\sqrt{401} на -2.

$$x=\frac{-\sqrt{401}-21}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{21±\sqrt{401}}{-2} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{401} из 21.

$$x=\frac{21-\sqrt{401}}{-2}$$

Разделите 21-\sqrt{401} на -2.

$$x=\frac{\sqrt{401}-21}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{-\sqrt{401}-21}{2} x=\frac{\sqrt{401}-21}{2}$$

Подставьте \frac{-\sqrt{401}-21}{2} вместо x в уравнении \sqrt{3x^{2}-5x+6}=2\left(x+2\right).

$$\sqrt{3\times \left(\frac{-\sqrt{401}-21}{2}\right)^{2}-5\times \frac{-\sqrt{401}-21}{2}+6}=2\left(\frac{-\sqrt{401}-21}{2}+2\right)$$

Упростите. Значение x=\frac{-\sqrt{401}-21}{2} не соответствует уравнению, так как левая и правая стороны имеют противоположные знаки.

$$401^{\frac{1}{2}}+17=-401^{\frac{1}{2}}-17$$

Подставьте \frac{\sqrt{401}-21}{2} вместо x в уравнении \sqrt{3x^{2}-5x+6}=2\left(x+2\right).

$$\sqrt{3\times \left(\frac{\sqrt{401}-21}{2}\right)^{2}-5\times \frac{\sqrt{401}-21}{2}+6}=2\left(\frac{\sqrt{401}-21}{2}+2\right)$$

Упростите. Значение x=\frac{\sqrt{401}-21}{2} удовлетворяет уравнению.

$$401^{\frac{1}{2}}-17=401^{\frac{1}{2}}-17$$

Уравнение \sqrt{3x^{2}-5x+6}=2\left(x+2\right) имеет уникальное решение.

$$x=\frac{\sqrt{401}-21}{2}$$