Решить sqrt{3x+1}-sqrt{2x-1}=1

$$\sqrt { 3 x + 1 } - \sqrt { 2 x - 1 } = 1$$

Найдите x

$$x=5$$

$$x=1$$

Действия по решению

Вычтите -\sqrt{2x-1} из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{3x+1}=1+\sqrt{2x-1}$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(\sqrt{3x+1}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{3x+1} в степени 2 и получите 3x+1.

$$3x+1=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}.

$$3x+1=1+2\sqrt{2x-1}+\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{2x-1} в степени 2 и получите 2x-1.

$$3x+1=1+2\sqrt{2x-1}+2x-1$$

Вычтите 1 из 1, чтобы получить 0.

$$3x+1=2\sqrt{2x-1}+2x$$

Вычтите 2x из обеих частей уравнения.

$$3x+1-2x=2\sqrt{2x-1}$$

Объедините 3x и -2x, чтобы получить x.

$$x+1=2\sqrt{2x-1}$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(x+1\right)^{2}=\left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1=\left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Разложите \left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1=2^{2}\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Вычислите 2 в степени 2 и получите 4.

$$x^{2}+2x+1=4\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{2x-1} в степени 2 и получите 2x-1.

$$x^{2}+2x+1=4\left(2x-1\right)$$

Чтобы умножить 4 на 2x-1, используйте свойство дистрибутивности.

$$x^{2}+2x+1=8x-4$$

Вычтите 8x из обеих частей уравнения.

$$x^{2}+2x+1-8x=-4$$

Объедините 2x и -8x, чтобы получить -6x.

$$x^{2}-6x+1=-4$$

Прибавьте 4 к обеим частям.

$$x^{2}-6x+1+4=0$$

Чтобы вычислить 5, сложите 1 и 4.

$$x^{2}-6x+5=0$$

Чтобы решить уравнение, фактор x^{2}-6x+5 с помощью формулы x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-6 ab=5$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Единственная такая пара является решением системы.

$$a=-5 b=-1$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x-5\right)\left(x-1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-5=0 и x-1=0у.

$$x=5 x=1$$

Подставьте 5 вместо x в уравнении \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1.

$$\sqrt{3\times 5+1}-\sqrt{2\times 5-1}=1$$

Упростите. Значение x=5 удовлетворяет уравнению.

$$1=1$$

Подставьте 1 вместо x в уравнении \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1.

$$\sqrt{3\times 1+1}-\sqrt{2\times 1-1}=1$$

Упростите. Значение x=1 удовлетворяет уравнению.

$$1=1$$

Список всех решений \sqrt{3x+1}=\sqrt{2x-1}+1.

$$x=5 x=1$$