Решить sqrt{15+x^2}-sqrt{19-x^2}=2

$$\sqrt { 15 + x ^ { 2 } } - \sqrt { 19 - x ^ { 2 } } = 2$$

Найдите x

$$x=\sqrt{10}\approx 3,16227766$$

$$x=-\sqrt{10}\approx -3,16227766$$

Действия по решению

Вычтите -\sqrt{19-x^{2}} из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{15+x^{2}}=2+\sqrt{19-x^{2}}$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{15+x^{2}} в степени 2 и получите 15+x^{2}.

$$15+x^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{19-x^{2}} в степени 2 и получите 19-x^{2}.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+19-x^{2}$$

Чтобы вычислить 23, сложите 4 и 19.

$$15+x^{2}=23+4\sqrt{19-x^{2}}-x^{2}$$

Вычтите 23-x^{2} из обеих частей уравнения.

$$15+x^{2}-\left(23-x^{2}\right)=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Чтобы найти противоположное значение выражения 23-x^{2}, необходимо найти противоположное значение для каждого члена.

$$15+x^{2}-23+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Вычтите 23 из 15, чтобы получить -8.

$$-8+x^{2}+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Объедините x^{2} и x^{2}, чтобы получить 2x^{2}.

$$-8+2x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(-8+2x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(-8+2x^{2}\right)^{2}.

$$64-32x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Чтобы возвести степень в другую степень, перемножьте показатели. Перемножьте 2 и 2, чтобы получить 4.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Разложите \left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=4^{2}\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Вычислите 4 в степени 2 и получите 16.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{19-x^{2}} в степени 2 и получите 19-x^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(19-x^{2}\right)$$

Чтобы умножить 16 на 19-x^{2}, используйте свойство дистрибутивности.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=304-16x^{2}$$

Вычтите 304 из обеих частей уравнения.

$$64-32x^{2}+4x^{4}-304=-16x^{2}$$

Вычтите 304 из 64, чтобы получить -240.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}=-16x^{2}$$

Прибавьте 16x^{2} к обеим частям.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}+16x^{2}=0$$

Объедините -32x^{2} и 16x^{2}, чтобы получить -16x^{2}.

$$-240-16x^{2}+4x^{4}=0$$

Замените t на x^{2}.

$$4t^{2}-16t-240=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 4, b на -16 и c на -240.

$$t=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\left(-240\right)}}{2\times 4}$$

Выполните арифметические операции.

$$t=\frac{16±64}{8}$$

Решение t=\frac{16±64}{8} уравнений, когда ±-плюс и когда ± — минус.

$$t=10 t=-6$$

Так как x=t^{2}, получаемые решения см. при проверке x=±\sqrt{t} для положительных t.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$

Подставьте \sqrt{10} вместо x в уравнении \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2.

$$\sqrt{15+\left(\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Упростите. Значение x=\sqrt{10} удовлетворяет уравнению.

$$2=2$$

Подставьте -\sqrt{10} вместо x в уравнении \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2.

$$\sqrt{15+\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Упростите. Значение x=-\sqrt{10} удовлетворяет уравнению.

$$2=2$$

Список всех решений \sqrt{x^{2}+15}=\sqrt{19-x^{2}}+2.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$