Решить sinh(1)=

$$\sin h ( 1 ) =$$

Дифференцировать по h

$$\cos(h)$$

Действия с использованием определения производной

Для функции f\left(x\right) производная представляет собой предел \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} при h стремящемся к 0 (если этот предел существует).

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}h}(\sin(h))=\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(h+t)-\sin(h)}{t}\right)$$

Используйте формулу суммы для синуса.

$$\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t+h)-\sin(h)}{t}$$

Вынесите \sin(h) за скобки.

$$\lim_{t\to 0}\frac{\sin(h)\left(\cos(t)-1\right)+\cos(h)\sin(t)}{t}$$

Перепишите предел.

$$\left(\lim_{t\to 0}\sin(h)\right)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)+\left(\lim_{t\to 0}\cos(h)\right)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{t}\right)$$

При вычислении пределов используйте тот факт, что h — константа, так как t стремится к 0.

$$\sin(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)+\cos(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{t}\right)$$

Предел \lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h} равен 1.

$$\sin(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)+\cos(h)$$

Чтобы найти предел \lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}, сначала умножьте числитель и знаменатель на \cos(t)+1.

$$\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)=\left(\lim_{t\to 0}\frac{\left(\cos(t)-1\right)\left(\cos(t)+1\right)}{t\left(\cos(t)+1\right)}\right)$$

Умножьте \cos(t)+1 на \cos(t)-1.

$$\lim_{t\to 0}\frac{\left(\cos(t)\right)^{2}-1}{t\left(\cos(t)+1\right)}$$

Используйте теорему Пифагора.

$$\lim_{t\to 0}-\frac{\left(\sin(t)\right)^{2}}{t\left(\cos(t)+1\right)}$$

Перепишите предел.

$$\left(\lim_{t\to 0}-\frac{\sin(t)}{t}\right)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{\cos(t)+1}\right)$$

Предел \lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h} равен 1.

$$-\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{\cos(t)+1}\right)$$

Используйте тот факт, что функция \frac{\sin(t)}{\cos(t)+1} непрерывна на 0.

$$\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{\cos(t)+1}\right)=0$$

Подставьте значение 0 в выражение \sin(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)+\cos(h).

$$\cos(h)$$

Вычислить

$$\sin(h)$$