Решить {l}{y=3x}{x+y=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 3 x } \\ { x + y = 16 } \end{array} \right\}$$

Найдите y, x

$$x=4$$

$$y=12$$

Действия с использованием подстановок

Рассмотрите первое уравнение. Вычтите 3x из обеих частей уравнения.

$$y-3x=0$$

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$y-3x=0,y+x=16$$

Выберите одно из уравнений и решите его для y путем изоляция y в левой части уравнения.

$$y-3x=0$$

Прибавьте 3x к обеим частям уравнения.

$$y=3x$$

Подставьте 3x вместо y в другом уравнении y+x=16.

$$3x+x=16$$

Прибавьте 3x к x.

$$4x=16$$

Разделите обе части на 4.

$$x=4$$

Подставьте 4 вместо x в y=3x. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для y.

$$y=3\times 4$$

Умножьте 3 на 4.

$$y=12$$

Система решена.

$$y=12,x=4$$

Действия с использованием матриц

Рассмотрите первое уравнение. Вычтите 3x из обеих частей уравнения.

$$y-3x=0$$

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$y-3x=0,y+x=16$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{1-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-3\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 16\\\frac{1}{4}\times 16\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы y и x.

$$y=12,x=4$$

Действия с использованием исключения

Рассмотрите первое уравнение. Вычтите 3x из обеих частей уравнения.

$$y-3x=0$$

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$y-3x=0,y+x=16$$

Вычтите y+x=16 из y-3x=0 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$y-y-3x-x=-16$$

Прибавьте y к -y. Члены y и -y сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$-3x-x=-16$$

Прибавьте -3x к -x.

$$-4x=-16$$

Разделите обе части на -4.

$$x=4$$

Подставьте 4 вместо x в y+x=16. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для y.

$$y+4=16$$

Вычтите 4 из обеих частей уравнения.

$$y=12$$

Система решена.

$$y=12,x=4$$