Решить {l}{x=-y}{2x+y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = - y } \\ { 2 x + y = 5 } \end{array} \right\}$$

Найдите x, y

$$x=5$$

$$y=-5$$

Действия с использованием подстановок

Рассмотрите первое уравнение. Прибавьте y к обеим частям.

$$x+y=0$$

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$x+y=0,2x+y=5$$

Выберите одно из уравнений и решите его для x путем изоляция x в левой части уравнения.

$$x+y=0$$

Вычтите y из обеих частей уравнения.

$$x=-y$$

Подставьте -y вместо x в другом уравнении 2x+y=5.

$$2\left(-1\right)y+y=5$$

Умножьте 2 на -y.

$$-2y+y=5$$

Прибавьте -2y к y.

$$-y=5$$

Разделите обе части на -1.

$$y=-5$$

Подставьте -5 вместо y в x=-y. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=-\left(-5\right)$$

Умножьте -1 на -5.

$$x=5$$

Система решена.

$$x=5,y=-5$$

Действия с использованием матриц

Рассмотрите первое уравнение. Прибавьте y к обеим частям.

$$x+y=0$$

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$x+y=0,2x+y=5$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2}&-\frac{1}{1-2}\\-\frac{2}{1-2}&\frac{1}{1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-5\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=5,y=-5$$

Действия с использованием исключения

Рассмотрите первое уравнение. Прибавьте y к обеим частям.

$$x+y=0$$

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$x+y=0,2x+y=5$$

Вычтите 2x+y=5 из x+y=0 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$x-2x+y-y=-5$$

Прибавьте y к -y. Члены y и -y сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$x-2x=-5$$

Прибавьте x к -2x.

$$-x=-5$$

Разделите обе части на -1.

$$x=5$$

Подставьте 5 вместо x в 2x+y=5. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для y.

$$2\times 5+y=5$$

Умножьте 2 на 5.

$$10+y=5$$

Вычтите 10 из обеих частей уравнения.

$$y=-5$$

Система решена.

$$x=5,y=-5$$