Решить {l}{2x+y=3}{x+y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 3 } \\ { x + y = 5 } \end{array} \right\}$$

Найдите x, y

$$x=-2$$

$$y=7$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Выберите одно из уравнений и решите его для x путем изоляция x в левой части уравнения.

$$2x+y=3$$

Вычтите y из обеих частей уравнения.

$$2x=-y+3$$

Разделите обе части на 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+3\right)$$

Умножьте \frac{1}{2} на -y+3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Подставьте \frac{-y+3}{2} вместо x в другом уравнении x+y=5.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}+y=5$$

Прибавьте -\frac{y}{2} к y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=5$$

Вычтите \frac{3}{2} из обеих частей уравнения.

$$\frac{1}{2}y=\frac{7}{2}$$

Умножьте обе части на 2.

$$y=7$$

Подставьте 7 вместо y в x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=-\frac{1}{2}\times 7+\frac{3}{2}$$

Умножьте -\frac{1}{2} на 7.

$$x=\frac{-7+3}{2}$$

Прибавьте \frac{3}{2} к -\frac{7}{2}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x=-2$$

Система решена.

$$x=-2,y=7$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-1}&-\frac{1}{2-1}\\-\frac{1}{2-1}&\frac{2}{2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3-5\\-3+2\times 5\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\7\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=-2,y=7$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Вычтите x+y=5 из 2x+y=3 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$2x-x+y-y=3-5$$

Прибавьте y к -y. Члены y и -y сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$2x-x=3-5$$

Прибавьте 2x к -x.

$$x=3-5$$

Прибавьте 3 к -5.

$$x=-2$$

Подставьте -2 вместо x в x+y=5. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для y.

$$-2+y=5$$

Прибавьте 2 к обеим частям уравнения.

$$y=7$$

Система решена.

$$x=-2,y=7$$