Решить ∫ (from 1 to 2) of x-sqrt{1/x wrt x

$$\int_{ 1 }^{ 2 } x- \sqrt{ \frac{ 1 }{ x } } d x$$

Вычислить

$$\frac{7}{2}-2\sqrt{2}\approx 0,671572875$$

Действия по решению

Оцените неопределенный интеграл первым.

$$\int x-\sqrt{\frac{1}{x}}\mathrm{d}x$$

Интегрируйте сумму по членам.

$$\int x\mathrm{d}x+\int -\frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x$$

Вычтите постоянную в каждом из членов.

$$\int x\mathrm{d}x-\int \frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x$$

Так как \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{2}}{2}-\int \frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x$$

Перепишите \frac{1}{\sqrt{x}} как x^{-\frac{1}{2}}. Так как \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int x^{-\frac{1}{2}}\mathrm{d}x \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}. Упростите и преобразуйте из экспоненциальной в радикальную форму. Умножьте -1 на 2\sqrt{x}.

$$\frac{x^{2}}{2}-2\sqrt{x}$$

Определенный интеграл является первообразной выражения, оцененным по верхнему пределу интеграции, за вычетом первообразной, оцененного по нижнему пределу интеграции.

$$\frac{2^{2}}{2}-2\times 2^{\frac{1}{2}}-\left(\frac{1^{2}}{2}-2\times 1^{\frac{1}{2}}\right)$$

Упростите.

$$\frac{7}{2}-2\sqrt{2}$$