Решить ∫ (from -1 to 0) of (2x-x^2) wrt x

$$\int_{ -1 }^{ 0 } (2x- { x }^{ 2 } ) d x$$

Вычислить

$$-\frac{4}{3}\approx -1,333333333$$

Действия по решению

Оцените неопределенный интеграл первым.

$$\int 2x-x^{2}\mathrm{d}x$$

Интегрируйте сумму по членам.

$$\int 2x\mathrm{d}x+\int -x^{2}\mathrm{d}x$$

Вычтите постоянную в каждом из членов.

$$2\int x\mathrm{d}x-\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Так как \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}. Умножьте 2 на \frac{x^{2}}{2}.

$$x^{2}-\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Так как \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}. Умножьте -1 на \frac{x^{3}}{3}.

$$x^{2}-\frac{x^{3}}{3}$$

Определенный интеграл является первообразной выражения, оцененным по верхнему пределу интеграции, за вычетом первообразной, оцененного по нижнему пределу интеграции.

$$0^{2}-\frac{0^{3}}{3}-\left(\left(-1\right)^{2}-\frac{\left(-1\right)^{3}}{3}\right)$$

Упростите.

$$-\frac{4}{3}$$