Решить ∫ y=e^x(acosx+bsinx)

$$\int y = e ^ { x } ( a \cos x + b \sin x )$$

Найдите a

$$\left\{\begin{matrix}a=\frac{-b\sin(x)e^{x}+xy+С}{\cos(x)e^{x}}\text{, }&\nexists n_{1}\in \mathrm{Z}\text{ : }x=\pi n_{1}+\frac{\pi }{2}\\a\in \mathrm{R}\text{, }&С=b\sin(x)e^{x}-xy\text{ and }\exists n_{1}\in \mathrm{Z}\text{ : }x=\frac{\pi \left(2n_{1}+1\right)}{2}\end{matrix}\right,$$

Действия по решению линейного уравнения

Чтобы умножить e^{x} на a\cos(x)+b\sin(x), используйте свойство дистрибутивности.

$$\int y\mathrm{d}x=e^{x}a\cos(x)+e^{x}b\sin(x)$$

Поменяйте стороны местами, чтобы все переменные члены находились в левой части.

$$e^{x}a\cos(x)+e^{x}b\sin(x)=\int y\mathrm{d}x$$

Вычтите e^{x}b\sin(x) из обеих частей уравнения.

$$e^{x}a\cos(x)=\int y\mathrm{d}x-e^{x}b\sin(x)$$

Уравнение имеет стандартный вид.

$$\cos(x)e^{x}a=-b\sin(x)e^{x}+xy+С$$

Разделите обе части на e^{x}\cos(x).

$$\frac{\cos(x)e^{x}a}{\cos(x)e^{x}}=\frac{-b\sin(x)e^{x}+xy+С}{\cos(x)e^{x}}$$

Деление на e^{x}\cos(x) аннулирует операцию умножения на e^{x}\cos(x).

$$a=\frac{-b\sin(x)e^{x}+xy+С}{\cos(x)e^{x}}$$

Разделите yx+С-e^{x}b\sin(x) на e^{x}\cos(x).

$$a=\frac{\frac{xy+С}{e^{x}}-b\sin(x)}{\cos(x)}$$

Найдите b

$$\left\{\begin{matrix}b=\frac{-a\cos(x)e^{x}+xy+С}{\sin(x)e^{x}}\text{, }&\nexists n_{1}\in \mathrm{Z}\text{ : }x=\pi n_{1}\\b\in \mathrm{R}\text{, }&С=a\cos(x)e^{x}-xy\text{ and }\exists n_{1}\in \mathrm{Z}\text{ : }x=\pi n_{1}\end{matrix}\right,$$

Действия по решению линейного уравнения

Чтобы умножить e^{x} на a\cos(x)+b\sin(x), используйте свойство дистрибутивности.

$$\int y\mathrm{d}x=e^{x}a\cos(x)+e^{x}b\sin(x)$$

Поменяйте стороны местами, чтобы все переменные члены находились в левой части.

$$e^{x}a\cos(x)+e^{x}b\sin(x)=\int y\mathrm{d}x$$

Вычтите e^{x}a\cos(x) из обеих частей уравнения.

$$e^{x}b\sin(x)=\int y\mathrm{d}x-e^{x}a\cos(x)$$

Уравнение имеет стандартный вид.

$$\sin(x)e^{x}b=-a\cos(x)e^{x}+xy+С$$

Разделите обе части на e^{x}\sin(x).

$$\frac{\sin(x)e^{x}b}{\sin(x)e^{x}}=\frac{-a\cos(x)e^{x}+xy+С}{\sin(x)e^{x}}$$

Деление на e^{x}\sin(x) аннулирует операцию умножения на e^{x}\sin(x).

$$b=\frac{-a\cos(x)e^{x}+xy+С}{\sin(x)e^{x}}$$

Разделите yx+С-e^{x}a\cos(x) на e^{x}\sin(x).

$$b=\frac{\frac{xy+С}{e^{x}}-a\cos(x)}{\sin(x)}$$